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第5讲 几何概型
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是________．
解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝＝.
答案
2．(2021·苏北四市调研)在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是________．
解析 “S1＞2S2”即“AP＞2PB”，故所求概率为.
答案
3．(2022·辽宁卷改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为大事A，则P(A)＝＝＝.
答案
4．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为________．
解析 设AC＝x cm,0＜x＜12，则CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率为P＝＝.
答案
5．(2021·南京、盐城模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|2x|＜a的概率为，则实数a＝________.
解析 由于区间[－2,4]的长度是6，满足不等式|2x|＜a⇔－＜x＜的概率是，所以区间＝(－2,2)，长度为4，则＝2，解得a＝4.
答案 4
6．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为________．
解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P＝＝.
答案
7．(2021·郑州质量猜测)在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足x＋y≤的概率是________．
解析 不等式组表示的平面区域的面积为22＝4，不等式组表示的平面区域的面积为×()2＝1，因此所求的概率是.
答案
8. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
解析 由于在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本大事为“∠DAB内作射线AP”，所以它的全部等可能大事所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.
答案
二、解答题
9．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．
解 设大事A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成大事A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，依据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝＝.
10．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前商定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并商定先到者等待时间不超过10分钟．当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．
解 设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|y－x|≤时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P＝＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2021·苏、锡、常、镇模拟)在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________．
解析 如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
答案
2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．
解析 如图，设OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，∴在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝－2＝1，全部阴影面积为π－2.故所求概率P＝＝1－.
答案 1－
3．在面积为S的△ABC内部任取一点P，△PBC的面积大于的概率为________．
解析 如图，假设当点P落在EF上时(EF∥BC)，恰好满足△PBC的面积等于，作PG⊥BC，AH⊥BC，
则易知＝.符合要求的点P可以落在△AEF内的任一部分，其概率为P＝＝2＝.
答案
4．设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，
(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．
解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度全部可能状况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种状况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P＝.
(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6－x－y，故全部试验结果所构成的区域为
即
所表示的平面区域为△OAB.
若三条线段x，y,6－x－y能构成三角形，
则还要满足
即为
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知，所求概率为P＝＝.
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