1、第5讲几何概型基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是_解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P.答案2(2021苏北四市调研)在ABC的边AB上随机取一点P，记CAP和CBP的面积分别为S1和S2，则S12S2的概率是_解析“S12S2”即“AP2PB”，故所求概率为.答案3(2022辽宁卷改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_解析设质点落在以AB为直径的半圆内为大事A，则P(A).答案
2、4在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为_解析设ACx cm,0x12，则CB(12x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12x)20，则x212x200，解得2x10，所求概率为P.答案5(2021南京、盐城模拟)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|2x|a的概率为，则实数a_.解析由于区间2,4的长度是6，满足不等式|2x|ax的概率是，所以区间(2,2)，长度为4，则2，解得a4.答案46一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称
3、其为“平安飞行”，则蜜蜂“平安飞行”的概率为_解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“平安飞行”的概率为P.答案7(2021郑州质量猜测)在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好满足xy的概率是_解析不等式组表示的平面区域的面积为224，不等式组表示的平面区域的面积为()21，因此所求的概率是.答案8. 如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_解析由于在DAB内任作射线AP，则等可能基本大事为“DAB内作射线AP”，所以它的全部等可能大事所在的区域
4、H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，区域h为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.答案二、解答题9设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率解设大事A为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成大事A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，依据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A).10身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前商定分别乘A，B两列火车在郑州火车
5、站会面，并商定先到者等待时间不超过10分钟当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率解 设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|yx|时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P.力量提升题组(建议用时：25分钟)1(2021苏、锡、常、镇模拟)在ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为_解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线
6、段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.答案2如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_解析如图，设OA2，S扇形AOB，SOCD11，S扇形OCD，在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S121，全部阴影面积为2.故所求概率P1.答案13在面积为S的ABC内部任取一点P，PBC的面积大于的概率为_解析如图，假设当点P落在EF上时(EFBC)，恰好满足PBC的面积等于，作PGBC，AHBC，则易知.符合要求的点P可以落在AEF内的任一部分，其概率为P2.答案4设AB6，在线段A
7、B上任取两点(端点A，B除外)，将线段AB分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率解(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度全部可能状况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种状况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P.(2)设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6xy，故全部试验结果所构成的区域为即所表示的平面区域为OAB.若三条线段x，y,6xy能构成三角形，则还要满足即为所表示的平面区域为DEF，由几何概型知，所求概率为P.
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