资源描述
[基础达标]
一、选择题
1．甲、乙两人同时报考某一所高校，甲被录用的概率为0.6，乙被录用的概率为0.7，两人是否被录用互不影响，则其中至少有一人被录用的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
解析：选D.由题意知，甲、乙都不被录用的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.
∴至少有一人被录用的概率为1－0.12＝0.88.
2．甲、乙两市都位于长江下游，依据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，则甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为( )
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.66
解析：选A.甲市为雨天记为A，乙市为雨天记为B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝＝＝0.6.
3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标注数1，两个面上标注数2，一个面上标注数3，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之和为3的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设第i次向上的数是1为大事Ai，第i次向上的数是2为Bi，i＝1，2，则P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝，则所求的概率为P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝.
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设大事A：甲实习生加工的零件为一等品；大事B：乙实习生加工的零件为一等品，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：
P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝×(1－)＋(1－)×＝.
5．(2022·福建福州市质量检测)在三次独立重复试验中，大事A在每次试验中发生的概率相同，若大事A至少发生一次的概率为，则大事A恰好发生一次的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设大事A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C(1－x)3＝，得x＝，则大事A恰好发生一次的概率为C××(1－)2＝.
二、填空题
6．掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚是6点的概率为________．
解析：设大事A为至少有一枚是6点，大事B为两枚骰子的点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，则P(A|B)＝＝＝.
答案：
7．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本．某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一大事的概率是________．
解析：设“任取一书是文科书”的大事为A，“任取一书是精装书”的大事为B，则A，B是相互独立的大事，所求概率为P(AB)．
据题意可知P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：
8．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．
解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是(1－)×(1－)＝，∴至少有一个人去此地的概率是1－＝.
答案：
三、解答题
9．抛掷红、蓝两颗骰子，设大事A为“蓝色骰子的点数为3或6”，大事B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
解：(1)P(A)＝＝.
∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．
∴P(B)＝＝.
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.
(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.
10．某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
(1)填充上表；
(2)若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求ξ的分布列．
解：(1)从左至右两空格依次是0.5，0.3.
(2)①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5.
设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，
则X～B(5，0.5)，
P(X＝2)＝C×0.52×(1－0.5)3＝0.312 5.
②ξ的可能取值为4，5，6，7，8.
P(ξ＝4)＝0.22＝0.04，
P(ξ＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，
P(ξ＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，
P(ξ＝7)＝2×0.5×0.3＝0.3，
P(ξ＝8)＝0.32＝0.09.
ξ的分布列为：
ξ
4
5
6
7
8
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
[力气提升]
一、选择题
1．某人抛掷一枚硬币，毁灭正反的概率都是，构造数列{an}，使an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.依题意得知，“S4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次毁灭正面，因此“S4＝2”的概率为C·＝.
2．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设“甲、乙二人相邻”为大事A，“甲、丙二人相邻”为大事B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝，而P(A)＝＝，
AB是表示大事“甲与乙、丙都相邻”，
故P(AB)＝＝，于是P(B|A)＝＝.
二、填空题
3．某种电路开关闭合后，会毁灭红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后毁灭红灯的概率是，两次闭合都毁灭红灯的概率为.在第一次闭合后毁灭红灯的条件下其次次毁灭红灯的概率为________．
解析：设大事A：第一次闭合毁灭红灯；大事B：其次次闭合毁灭红灯．
则P(A)＝，P(AB)＝，
故满足条件的P(B|A)＝＝＝.
答案：
4．某大厦的一部电梯从底层动身后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________．
解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5.
故P(ξ＝4)＝C×＝.
答案：
三、解答题
5. 如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．
(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；
(2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；
(3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．
解：(1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意，P(A)＝.
(2)依题意知，X～B(3，)，从而X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(3)设Bi表示大事“第i次击中目标时，击中B区域”，
Ci表示大事“第i次击中目标时，击中C区域”，i＝1，2，3.
依题意知P＝P(B1C2C3)＋P(C1B2C3)＋P(C1C2B3)
＝3×××＝.
6．(选做题)(2022·陕西省名校联考)设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观看疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观看三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列．
解：(1)设Ai表示大事“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2；Bi表示大事“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.依题意，有
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，
P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
故所求的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)
＝×＋×＋×＝.
(2)由题意知X的可能值为0，1，2，3，故有
P(X＝0)＝()3＝，
P(X＝1)＝C××()2＝，
P(X＝2)＝C×()2×＝，
P(X＝3)＝()3＝.
从而，X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
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