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解三角形
【考题回放】
1．设分别是的三个内角所对的边，则是的（ ）
（A）充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
2．在中，已知，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是（ B ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________.
4．假如的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-px+1-p＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _
和__ ___，p的取值范围是__________；(0，)；(0，)；［，1)
6．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA.
【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，
设BE=x 在ΔBDE中可得，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，
即 又，故，
【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要挂念考生深刻理解正、余弦定理，把握解斜三角形的方法和技巧 同学需要把握的力气：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)娴熟地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能娴熟运用三角形基础学问，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式协作，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，留意隐含条件的挖掘
【范例1】【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝，试推断△ABC的外形．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得，
∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形外形时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其外形，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探究．
【范例2】 【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.
(1)求角A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
解析
【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）的取值范围．
解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac．
在△ABC中得,
故有．又从而．
（１），即．
（２）
．
．
【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们接受消元的思想，想方法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的把握和利用对调整解题思路是格外有好处的．
【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R=，且满足.
(1) 求角B和边b的大小；
(2) 求△ABC的面积的最大值。
解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB= ∴B=
∵ b=2RsinB ∴b=3
(2)∵=
∴当A=时, 的最大值是 ．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C在城A的南20˚西的方向上，由A城动身有一条大路，走向是南40˚东，在C处测得距C为31千米的大路上B处有一人正沿大路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：
，
．
．
在△ACD中得．
所以还得走15千米到达A城．
【点晴】 运用解三角形的学问解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )
（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值
（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值
2．已知非零向量与满足且则为（ D ）
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）
（A） （B） （C）或 （D）或
4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )
(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin
5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）
6．已知定义在R上的偶函数在区间上单调递增,若
的内角A满足,则A的取值范围是 ___
【文】在中，..的对边分别为..。
（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。
（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。
解析 (1) ∵,
当且仅当时取等号, ∵f(B)=sinB+cosB=
∵ ∴的值域为
(2) ∵∴ sinA+sinC=2sinB ∵
∴ C= ∴sin()+sin()=2sinB
开放,化简,得 , ∵, ∴
∴ cosB=
8．【文】在中，分别为角的对边，且满足
（１）求角大小；
（２）若，当取最小值时，推断的外形．
解析（１），
，
． ，
， ．
（２）由余弦定理，得 ．
， ．
所以的最小值为，当且仅当时取等号．此时为正三角形．
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