浙江省台州中学2021届高三上学期第三次统练试题数学(理)-Word版含答案.docx

台州中学2022学年第一学期第三次统练试题
高三 数学（理科）
命题人：金玲红 审题人：陈守湖
参考公式：
柱体的体积公式 球的表面积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 球的体积公式
锥体的体积公式 其中R表示球的半径
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合,,则 （ ）
A． B．
C． D．

2. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）

A．4 B． C． D．6

3. ＂数列为递增数列＂的一个充分不必要条件是（　　 ）
A. 　　 B. 　 C. 　　D.
4. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
5．已知函数，，则( )
A． B． C． D．

6. 下列命题正确的是（ ）
A．异面直线不垂直，则不存在相互垂直的平面分别过；
B．直线不垂直平面，则内不存在与垂直的直线；
C．直线与平面平行，则过内一点有且只有一条直线与平行；
D．平面垂直，则过内一点有很多条直线与垂直．
7．若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）

8．在中，是边上一点，，若是边上一动点，且，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
二、 填空题（本大题共7小题, 每小题4分,共28分）
11．设，，且夹角，则= ．
12. 若，则= ．
13．已知关于的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为 ．
14．已知数列为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，，，则 ．

O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·

15.如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为 ．
16.已知正实数满足，则的最小值为 .
17. 已知点为双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，若，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共5小题,满分72分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤）
18．（本题满分14分）在△中，角、、的对边分别为、、，且．
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若，，求△面积的最小值．

19. (本小题满分14分) 已知函数，数列的前项和为，
点均在函数的图象上．
（I）求数列的通项公式；
（II）令，证明：.

20.(本题满分15分) 如图，平面⊥平面，其中为矩形，为梯形，∥，，．
(Ⅰ) 求异面直线与所成角的大小；
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为，求的长．
A
E
F
D
B
C
(第20题图)

21. (本小题满分15分) 若是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右顶点，直线的斜率的乘积等于．
（Ⅰ）求椭圆的离心率的值；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F且斜率为1的直线交椭圆于两点，为坐标原点，
若为椭圆上一点，满足，求实数的值．

（21题）

22．(本小题满分14分)已知是实数，函数，，若在区间上恒成立，则称和在区间上为“函数”．
（Ⅰ）设，若和在区间上为“函数”，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设且，若和在以为端点的开区间上为“函数”，求 的最大值．

台州中学2022学年第一学期第三次统练答案
高三 数学（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
C
C
C
A
D
D
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11． 2 12. 13．1 14． 14 15. 16. 17.
三、解答题：（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本题满分14分）（Ⅰ）由正弦定理，得．
∴ ．∴ （舍）． ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）中可得或．
又 时，，，即，冲突．
所以，，即．
所以，即当时，的最小值是．……14分
19.（1）点在的图象上，，
当时，；
当时，适合上式，； ………………6分
（2）证明：由，
，又，

，成立.………………14分

20.(本题满分15分) A
E
F
D
B
C
(第20题图)
H

G

Q

(Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．
由于ABCD是矩形，所以BC∥AD，
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
在梯形ADEF中，由于DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得
∠AQF＝30°．………………………5分

(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得
DG⊥AF．由于平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．
过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，
所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．
在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，
所以GH＝．在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．
由于cos∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．………… 15分
方法二：设AB＝x．
以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则
F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，
A
E
F
D
B
C
(第20题图)
x
z
y
所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．
由于EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．
设＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．
由于cos<，>＝＝，得x＝，所以AB＝．
21. (本小题满分15分)
（Ⅰ）由，，
得：，，所以． …5分
（Ⅱ）由方程组得：， 则，，
再设，，即，
由于为椭圆上的点，即，
则，整理得：
（＊），
由于，在椭圆上，即，，
又
，
所以，（＊）式可化为，即，
解得：，或． …………15分

22．(本小题满分14分)
解答：（Ⅰ）由于和在区间上为“函数”，所以
，在上恒成立，
即， ∵ ∴
∴ 即 ∴ ∴ ………………4分
（2）①当时，由于和在以为端点的开区间上为“函数”，
所以，在上恒成立，即，恒成立
，
∴ ∴
②当时，由于和在以为端点的开区间上为“函数”，所以，
即，恒成立 ，
∴
③当时，由于和在以为端点的开区间上为“函数”，
所以，即，恒成立
而时，不符合题意，
④当时，由题意：，恒成立
∴ ∴∴
综上可知，． …………………………14分