2022届数学一轮(理科)人教B版课时作业-第三章-导数及其应用-3-1.docx

第1讲 导数的概念及运算

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·沈阳模拟)曲线y＝x3在原点处的切线 (　　)
A．不存在
B．有1条，其方程为y＝0
C．有1条，其方程为x＝0
D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0
解析　∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.
答案　B
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 (　　)
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析　切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，
即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.
答案　A
3．(2021·湛江调研)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 (　　)
A. B. C. D．1
解析　y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，，故围成的三角形的面积为×1×＝.
答案　A
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于 (　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A.
答案　A
5．如图，修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 (　　)

A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
解析　设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0，0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排解B，D.又∵y＝3x－6是该函数在点(2，0)处的切线，则
y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故选A.
答案　A

二、填空题
6．已知函数f(x)＝f ′cos x＋sin x，则f 的值为________．
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，∴f′＝－f ′sin ＋cos ，
∴f′＝－1，∴f ＝(－1)cos ＋sin ＝1.
答案　1
7．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
答案　－3
8．(2021·开封调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，
∴a＝x＋≥2(x＞0)．
答案　[2，＋∞)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xnlg x；
(2)y＝sin2；
(3)y＝log3(2x＋1)．
解　(1)y′＝nxn－1lg x＋xn·
＝xn－1.
(2)∵y＝sin2＝，
∴y′＝－′
＝－··′
＝2sin.
(3)y′＝·(2x＋1)′
＝.
10．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
解　(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或
x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 (　　)
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
解析　y′＝＝，由于ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－当(x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.
答案　A
12．(2022·大连二模)过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有 (　　)
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
解析　由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2，1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝2时，y＝－1＜0.结合函数y＝2x－6x＋7的单调性可得方程2x－6x＋7＝0有3个解．故过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条，故选A.
答案　A
13．(2022·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N+)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为________．
解析　f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2 015＝×××…××＝，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.
答案　－1
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝
|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.