资源描述
推理与证明、复数、算法
1．推理方法
(1)合情推理
合情推理是依据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，试验和实践的结果，以及个人的阅历和直觉等推想某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜想和发觉结论、探究和供应思路的作用，有利于创新意识的培育．
[问题1] 图1有面积关系：＝，则图2有体积关系：________.
答案 ＝
(2)演绎推理
演绎推理是指假如推理是从一般性的原理动身，推出某个特殊状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：①大前提；②小前提；③结论．
2．证明方法
(1)直接证明
①综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法．综合法又叫顺推法或由因导果法．
②分析法
一般地，从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明方法叫分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．
(2)间接证明——反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法．
(3)数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开头的全部正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．
答案 三角形三个内角都大于60°
3．复数的概念
对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．
[问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．
答案 －2
4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)设ω＝－±i，则ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.
[问题4] 已知复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________.
答案 1
5．算法
(1)把握循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所打算，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
(2)条件结构的程序框图中对推断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对推断条件要认真辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
[问题5] 执行如图所示的程序框图，假如输出a＝341，那么推断框中可以是( )
A．k<4? B．k>5?
C．k<6? D．k<7?
答案 C
解析 依据程序框图，
第一次循环，a＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2；
其次次循环，a＝4×1＋1＝5，k＝2＋1＝3；
第三次循环，a＝4×5＋1＝21，k＝3＋1＝4；
第四次循环，a＝4×21＋1＝85，k＝4＋1＝5；
第五次循环，a＝4×85＋1＝341，k＝5＋1＝6.
要使输出的a＝341，推断框中可以是“k<6？”或“k≤5？”．
故选C.
易错点1 复数的概念不明致误
例1 若z＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．7
C．－ D．－7或－
找准失分点 本题常见的错误主要有两点：一是混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件，错得sin θ＝，cos θ＝±，导致错选D.二是记错两角差的正切公式，导致计算有误．
正解 由z为纯虚数，知sin θ－＝0，且cos θ－≠0.
则sin θ＝，从而cos θ＝－.所以tan θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7.
答案 A
易错点2 循环次数把握不准致误
例2 执行下边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.
找准失分点 简洁陷入循环运算的“黑洞”，毁灭运算次数的偏差而致错．
正解 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有
S：0＋＝，＋＝，＋＝0.875，
n: 2, 3, 4.
“0.875<0.8”推断为“否”，输出n＝4.
答案 4
易错点3 数学归纳法未用归纳假设致误
例3 用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d(n∈N＋)．
错解 ①当n＝1时，S1＝a1，等式成立．
②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，
即Sk＝a1k＋k(k－1)d.当n＝k＋1时，
Sk＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＋ak＋1
＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(k－1)d]＋(a1＋kd)＝(k＋1)a1＋(d＋2d＋…＋kd)
＝(k＋1)a1＋k(k＋1)d
＝(k＋1)a1＋(k＋1)[(k＋1)－1]d，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由①②知，等式对任意的正整数n都成立．
找准失分点 本题的错因在于从n＝k到n＝k＋1的推理中，没有用到归纳假设．
正解 ①当n＝1时，S1＝a1，等式成立．
②假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，
即Sk＝a1k＋k(k－1)d.
当n＝k＋1时，Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1
＝Sk＋ak＋1＝a1k＋k(k－1)d＋a1＋kd
＝(k＋1)a1＋(k＋1)[(k＋1)－1]d
即当n＝k＋1时，等式成立．
由①②知，等式对任意的正整数n都成立．
1．(2022·安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·等于( )
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
答案 C
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，
∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
故选C.
2．(2022·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于( )
A．18 B．20 C．21 D．40
答案 B
解析 由题意，得S＝0，n＝1；S＝0＋2＋1＝3<15，n＝2；S＝3＋22＋2＝9<15，n＝3；S＝9＋23＋3＝20，n＝4，由于20≥15，因此输出S.故选B.
3．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (－1＋i)z＝(1＋i)2＝2i，
则z＝＝＝－i(i＋1)＝1－i，
所以复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则这个点位于第四象限．
4．i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a等于( )
A．－2 B．－
C. D．2
答案 A
解析 由于＝＝为纯虚数，所以＝0，且≠0即a＝－2.
5．(2022·北京)同学的语文、数学成果均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若同学甲的语文、数学成果都不低于同学乙，且其中至少有一门成果高于乙，则称“同学甲比同学乙成果好”．假如一组同学中没有哪位同学比另一位同学成果好，并且不存在语文成果相同、数学成果也相同的两位同学，那么这组同学最多有( )
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
答案 B
解析 假设满足条件的同学有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成果一样，且这两个人数学成果不一样(或4位同学中必有两个数学成果一样，且这两个人语文成果不一样)，那么这两个人中一个人的成果比另一个人好，故满足条件的同学不能超过3人．当有3位同学时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．
6．(2022·山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
7．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
答案 －20
解析 (z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，
故(z1－z2)i的实部为－20.
8．(2022·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
答案 21
解析 由于z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2
＝25＋20i－4＝21＋20i，
所以z的实部为21.
9．椭圆与双曲线有很多秀丽 的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则有
将A，B代入双曲线－＝1中得
－＝1，－＝1，
两式相减得＝，
即＝，
即＝，即kOM·kAB＝.
10．(2022·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.
答案 495
解析 取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；
由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；
由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；
由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b＝495.
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