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函数与导数
1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数确定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出全部的不等式，不应遗漏．
对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．
[问题1] 函数y＝的定义域是________．
答案
2．用换元法求解析式时，要留意新元的取值范围，即函数的定义域问题．
[问题2] 已知f(cos x)＝sin2x，则f(x)＝________.
答案 1－x2(x∈[－1,1])
3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．
[问题3] 已知函数f(x)＝则f＝________.
答案
4．推断函数的奇偶性，要留意定义域必需关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必需留意使定义域不受影响．
[问题4] f(x)＝是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．
答案 奇
解析 由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，
f(x)＝＝.
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
5．弄清函数奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．
(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．
[问题5] 设f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
答案 D
解析 由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，
解得a＝－1，
故f(x)＝lg ，函数f(x)的定义域是(－1,1)，
在此定义域内f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，
函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.
6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必需是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
[问题6] 函数f(x)＝的减区间为________．
答案 (－∞，0)，(0，＋∞)
7．求函数最值(值域)常用的方法：
(1)单调性法：适合于已知或能推断单调性的函数．
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．
(3)基本不等式法：特殊适合于分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合于可导函数．
(5)换元法(特殊留意新元的范围)．
(6)分别常数法：适合于一次分式．
(7)有界函数法：适用于含有指数函数、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特殊是基本不等式法，并且要优先考虑定义域．
[问题7] 函数y＝(x≥0)的值域为________．
答案
解析 方法一 ∵x≥0，∴2x≥1，∴≥1，
解得≤y<1.
∴其值域为y∈.
方法二 y＝1－，∵x≥0，∴0<≤，
∴y∈.
8．函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(留意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0 (y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．
[问题8] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．
答案 [0,1)，[2，＋∞)
解析 ∵y＝
作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．
9．有关函数周期的几种状况必需熟记：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.
[问题9] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(2 012.5)＝________.
答案 －
10．二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(3)一元二次方程实根分布：先观看二次系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再依据上述特征画出草图．
尤其留意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．
[问题10] 若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________．
答案
11．(1)对数运算性质
已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
则loga(MN)＝logaM＋logaN，
loga＝logaM－logaN，
logaMn＝nlogaM，
对数换底公式：logaN＝.
推论：logamNn＝logaN；logab＝.
(2)指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化状况考虑，特殊留意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)．
[问题11] 函数y＝loga|x|的增区间为_________________．
答案 当a>1时，(0，＋∞)；当0<a<1时，(－∞，0)
12．幂函数
形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数．
(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线．
②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0,1)外的直线．
③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．
④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．
(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数．
[问题12] 函数f(x)＝－x的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
13．函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．
[问题13] 已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝(x－2)(x－1)g(x)＋3x－4，
∴f(1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f(2)＝2×3－4＝2>0.
又函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，
∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点．
因此方程f(x)＝0在(1,2)内必有实数根．
14．求导数的方法
①基本导数公式：c′＝0 (c为常数)；(xm)′＝mxm－1 (m∈Q)；(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．
②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；
(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．
③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.
如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则
(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.
[问题14] f(x)＝，则f′(x)＝________.
答案
15．利用导数推断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，假如f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；假如f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；假如在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．
留意：假如已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．
[问题15] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．
答案 a≥
解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)
＝3ax2－2x＋1.
由f′(x)≥0，得解得a≥.
a＝时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，
∴a＝符合题意．
16．导数为零的点并不愿定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
[问题16] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．
答案 x＝1
17．定积分
运用微积分基本定理求定积分ʃf(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数，应娴熟把握以下几个公式：
ʃxndx＝|，
ʃsin xdx＝－cos x|，
ʃcos xdx＝sin x|，
ʃdx＝ln x|(b>a>0)，
ʃaxdx＝|.
[问题17] 计算定积分ʃ(x2＋sin x)dx＝________.
答案
解析 ʃ(x2＋sin x)dx＝＝.
易错点1 函数概念不清致误
例1 已知函数f(x2－3)＝lg，求f(x)的定义域．
错解 由>0，得x>2或x<－2.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．
找准失分点 错把lg的定义域当成了f(x)的定义域．
正解 由f(x2－3)＝lg，
设x2－3＝t，则x2＝t＋3，
因此f(t)＝lg.
∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1.
∴f(x)的定义域为{x|x>1}．
易错点2 忽视函数的定义域致误
例2 推断函数f(x)＝(1＋x) 的奇偶性．
错解 由于f(x)＝(1＋x) ＝ ＝，
所以f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)＝(1＋x) 是偶函数．
找准失分点 对函数奇偶性定义理解不够全面，事实上对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，或f(－x)＝－f(x)．
正解 f(x)＝(1＋x) 有意义时必需满足≥0⇒－1<x≤1，即函数的定义域是{x|－1<x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
易错点3 混淆“切点”致误
例3 求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
错解 ∵y′＝3x2－2，
∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，
∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
找准失分点 错把(1，－1)当切点．
正解 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为
y′|＝3x20－2.
∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1，或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－(－＋1)＝(－2)(x＋)，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
易错点4 极值的概念不清致误
例4 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.
错解 －7或0
找准失分点 x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；
忽视了“f′(1)＝0x＝1是f(x)的极值点”的状况．
正解 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或
当a＝4，b＝－11时，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)
在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，
所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
答案 －7
易错点5 错误利用定积分求面积
例5 求曲线y＝sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积S.
错解 分两部分，在[0，π]上有ʃsin xdx＝2，在[π，2π]上有ʃsin xdx＝－2，因此所求面积S为2＋(－2)＝0.
找准失分点 面积应为各部分的确定值的代数和，也就是其次部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应当将两部分直接相加．
正解 S＝ʃsin xdx＋＝2＋2＝4.
答案 4
1．(2022·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
答案 A
解析 A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝()x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．
2．(2022·山东)函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案 C
解析 由题意知
解得x>2或0<x<.故选C.
3．下列各式中错误的是( )
A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
答案 C
解析 构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．
4．函数f(x)＝－＋log2x的一个零点落在下列哪个区间( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 依据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)<0.
5．(2022·天津)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
答案 D
解析 由于y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
6．(2022·福建)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
答案 D
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确．
7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是( )
①f(x)<0恒成立；
②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④f()>；
⑤f()<.
A．①③ B．①③④
C．②④ D．②⑤
答案 D
解析 由函数f(x)的导函数的图象可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图象上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，由图示可得<0且f()<，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.
8．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
答案 (－2,2)
解析 由于f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
由于f(x)<0，f(2)＝0.所以f(|x|)<f(2)．
又由于f(x)在(－∞，0]上是减函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以|x|<2，所以－2<x<2.
9．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，明显当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a>1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
10．(2022·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－，0)
解析 作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有
即解得－<m<0.
11．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
答案 6
解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，
令f′(x)>0⇒x<或x>2，f′(x)<0⇒<x<2，
故函数在(－∞，)及(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，
∴x＝2是微小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意．
12．已知函数f(x)＝ln(ax)(a≠0，a∈R)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，记φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；
(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，φ(x)＝f(x)－＝ln x－，则φ′(x)＝＋＝.
由于x>0且x≠1，所以φ′(x)>0.
故函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．
(2)由于ln(ax)≥对x≥1恒成立，
所以ln a＋ln x≥，即ln a≥1－－ln x对x≥1恒成立．
令h(x)＝1－－ln x，则h′(x)＝－，由于x≥1，故h′(x)≤0.所以h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，
由ln a≥h(x)max＝h(1)＝0，解得a≥1.
故实数a的取值范围为[1，＋∞)．
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