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解析几何
1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的范围为[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率为k＝(x1≠x2)；③直线的方向向量a＝(1，k)；④应用：证明三点共线：kAB＝kBC.
[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
(2)直线xcos θ＋y－2＝0的倾斜角的范围是________．
答案 (1)错 (2)[0，]∪[，π)
2．直线的方程
(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．
(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．
[问题2] 已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．
答案 5x－y＝0或x＋y－6＝0
3．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
[问题3] 两平行直线3x＋2y－5＝0与6x＋4y＋5＝0间的距离为________．
答案
4．两直线的平行与垂直
①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
特殊提示：(1)＝≠、≠、＝＝仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，争辩两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．
[问题4] 设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
答案 －1 m≠3且m≠－1 3
5．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，只有当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为(－，－)，半径为的圆．
[问题5] 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a＝________.
答案 －1
6．直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来推断：
①代数方法(推断直线与圆方程联立所得方程组的解的状况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d<r⇔相交；d>r⇔相离；d＝r⇔相切．
(2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当|O1O2|>r1＋r2时，两圆外离；②当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2时，两圆相交；④当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤|O1O2|<|r1－r2|时，两圆内含．
[问题6] 双曲线－＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________．
答案 内切
7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“确定值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必需留意条件：Fl，否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线．
[问题7] 已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．
答案 ＋＝1
8．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．
(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上，＋＝1(a>b>0)．
(2)双曲线标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a>0，b>0)；焦点在y轴上，－＝1(a>0，b>0)．
(3)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0)．
(4)抛物线标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)；
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
[问题8] 与双曲线－＝1有相同的渐近线，且过点(－3,2)的双曲线方程为________．
答案 －＝1
9．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要留意二次项的系数是否为零，利用解的状况可推断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需留意直线与渐近线的关系，在抛物线中需留意直线与对称轴的关系，而后推断是否相切．
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝或|P1P2|＝.
(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)、D(x2，y2)，则(1)焦半径|CF|＝x1＋；(2)弦长|CD|＝x1＋x2＋p；(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
[问题9] 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误
例1 已知直线xsin α＋y＝0，则该直线的倾斜角的变化范围是__________．
错解 由题意得，直线xsin α＋y＝0的斜率k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的变化范围是.
找准失分点 直线斜率k＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．
正解 由题意得，直线xsin α＋y＝0的斜率k＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k<0时，倾斜角的变化范围是；当0≤k≤1时，倾斜角的变化范围是.
故直线的倾斜角的变化范围是∪.
答案 ∪
易错点2 忽视斜率不存在情形致误
例2 已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0相互垂直，则t的值为________．
错解 直线l1的斜率k1＝－，
直线l2的斜率k2＝－，
∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，
即·＝－1，
解得t＝－1.
找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的争辩．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形．
正解 方法一 (1)当l1，l2的斜率都存在时，
由k1·k2＝－1得，t＝－1.
(2)若l1的斜率不存在，
此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，
明显l1⊥l2，符合条件；
若l2的斜率不存在，此时t＝－，
易知l1与l2不垂直，综上t＝－1或t＝1.
方法二 l1⊥l2⇔(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0⇔t＝1或t＝－1.
答案 －1或1
易错点3 忽视“判别式”致误
例3 已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
错解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为
y＝k(x－1)＋1.
代入双曲线方程x2－＝1，
整理得(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，
设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
点A(1,1)是弦中点，则＝1.
∴＝1，解得k＝2，
故所求直线方程为2x－y－1＝0.
错解2 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)③
由于A(1,1)为线段PQ的中点，
所以
将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝(y1－y2)．
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2.
所以符合题设条件的直线的方程为2x－y－1＝0.
找准失分点 没有推断直线2x－y－1＝0与双曲线是否相交．
正解1 设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为
y＝k(x－1)＋1.
代入双曲线方程x2－＝1，整理得，
(2－k2)x2＋2k(k－1)x－3＋2k－k2＝0，
由Δ＝4k2(k－1)2－4(2－k2)(2k－3－k2)>0，
解得k<.
设直线与双曲线交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
点A(1,1)是弦中点，则＝1.
∴＝1，解得k＝2>，
故不存在被点A(1,1)平分的弦．
正解2 设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
则
式①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)③
由于A(1,1)为线段PQ的中点，
所以
将式④、⑤代入式③，得x1－x2＝(y1－y2)．
若x1≠x2，则直线l的斜率k＝＝2.
所以直线l的方程为2x－y－1＝0，
再由，得2x2－4x＋3＝0.
依据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．
1．(2022·安徽)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.
由题意知|OP|＝2，OA＝1，
则sin α＝，
所以α＝30°，∠BPA＝60°.
故直线l的倾斜角的取值范围是.故D.
方法二 设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]．
2．(2022·广东)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
答案 A
解析 由于0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线－＝1的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为2＝2，离心率为.双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为2＝2，离心率为，故两曲线只有焦距相等．故选A.
3．若椭圆＋＝1(m>0，n>0)与曲线x2＋y2＝|m－n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由于m、n可互换而不影响，可令m>n，则则x2＝，若两曲线无交点，则x2<0，即m<2n，则e＝ < ＝，
又∵0<e<1，∴0<e<.
4．已知点F1、F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1＋2|的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．2
答案 C
解析 设P(x0，y0)，则1＝(－1－x0，－y0)，
2＝(1－x0，－y0)．
∴1＋2＝(－2x0，－2y0)，
∴|1＋2|＝＝2
＝2，
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1.
∴当y＝1时，|1＋2|取最小值为2.
5．(2022·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于( )
A. B. C．3 D．2
答案 C
解析 ∵＝4，∴||＝4||，
∴＝.
如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，
∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，依据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.
6．(2022·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
答案 x2＋(y－1)2＝1
解析 圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
7．始终线过点P，且被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为________．
答案 x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0
解析 ①当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，
代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.
所以弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
②当斜率k存在时，设所求直线方程为y＋＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－＝0.
由已知，弦心距|OM|＝＝3，
所以＝3，解得k＝－，
所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，
即3x＋4y＋15＝0.
所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
8．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.
整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值是.
9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F向其一条渐近线作垂线，垂足为M，已知∠MFO＝30°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．
答案 2
解析 由已知得点F的坐标为(c,0)(c＝)，
其中一条渐近线方程为bx－ay＝0，
则|MF|＝＝b，
由∠MFO＝30°可得＝＝cos 30°＝，
所以＝，
所以e＝＝2.
10．(2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
答案
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A(，)，
由得B(，)，
所以AB的中点C坐标为(，)．
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
由于|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，
所以e＝＝.
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