资源描述
集合与常用规律用语
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要留意元素的互异性．
[问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形确定不是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 A
2．描述法表示集合时，确定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．
[问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.
答案 ∅
3．遇到A∩B＝∅时，你是否留意到“极端”状况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽视A＝∅的状况．
[问题3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．
答案 {0，，}
4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
[问题4] 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
答案 7
5．留意数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特殊留意端点值．
[问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 C
6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[问题6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是________________．
答案 否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；
命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7．要弄清先后挨次：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[问题7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的________条件．
答案 充分不必要
8．要留意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应当是“a，b不都是偶数”，而不应当是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[问题8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 (－∞，－1)∪
解析 不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.争辩“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．
则
解得x∈.
则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪.
易错点1 忽视空集致误
例1 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．
错解 ∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，
∴A＝{x|－2≤x≤5}．
由A∪B＝A知B⊆A，
∴，即－3≤m≤3，
∴m的取值范围是－3≤m≤3.
找准失分点 B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的争辩，是本题的一个易失分点．
正解 ∵A∪B＝A，
∴B⊆A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，
即m<2，故m<2时，A∪B＝A；
②若B≠∅，如图所示，
则m＋1≤2m－1，即m≥2.
由B⊆A得
解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
易错点2 对命题的否定不当致误
例2 已知M是不等式≤0的解集且5M，则a的取值范围是________．
错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点 5M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，
有两种状况：①>0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种状况．
正解 方法一 ∵5M，∴>0或5a－25＝0，
∴a<－2或a>5或a＝5，
故填a≥5或a<－2.
方法二 若5∈M，
则≤0，
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，
∴－2≤a<5，
∴5M时，a<－2或a≥5.
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
易错点3 充要条件推断不准
例3 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件．
错解 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，
∴A∩B＝∅，故填“充要”．
找准失分点 没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立．
正解 若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要”
答案 充分不必要
1．(2022·北京)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( )
A．{0} B．{0,1}
C．{0,2} D．{0,1,2}
答案 C
解析 ∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，B＝{0,1,2}，
∴A∩B＝{0，2}．
2．(2022·北京)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 {an}为递增数列，则a1>0时，q>1；a1<0时，0<q<1.
q>1时，若a1<0，则{an}为递减数列．故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.
3．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是( )
A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0
C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
答案 C
解析 特称命题的否定为全称命题．
4．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是( )
A．a≤ B．0<a<
C.<a≤ D.<a<1
答案 C
解析 p⇔a∈，q⇔a∈，
∴a∈.
5．假如全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则图中的阴影部分表示的集合是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，0]∪(1,2)
C．(－∞，0)∪(1,2) D．(－∞，0)∪(1,2]
答案 D
解析 由题意得A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
B＝(1，＋∞)，
图中的阴影部分表示的集合是[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]，而A∩(∁UB)＝(－∞，0)，(∁UA)∩B＝(1,2]，故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]．
6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>2
答案 C
解析 ∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
又∵A＝{x|x<a}，且A∪(∁RB)＝R，
利用数轴易知应有a≥2，故选C.
7．已知集合U＝R，A＝，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)＝____________.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0,2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中的元素有________个．
答案 8
9．设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是________．
答案 m>－1，n<5
10．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________．
答案 [1，＋∞)
解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，
“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
