资源描述
数列、不等式
1．已知前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.
由Sn求an时，易忽视n＝1的状况．
[问题1] 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.
答案
2．等差数列的有关概念及性质
(1)等差数列的推断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.
(3)等差数列的前n项和：Sn＝，Sn＝na1＋d.
(4)等差数列的性质
①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.
②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．
③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特殊地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
[问题2] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
答案 A
3．等比数列的有关概念及性质
(1)等比数列的推断方法：定义法＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)．如一个等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝.
(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要推断公比q是否为1，再由q的状况选择求和公式的形式，当不能推断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形争辩求解．
(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得留意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.
(5)等比数列的性质
当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特殊地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a2p.
[问题3] (1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.
(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
答案 (1)512 (2)10
4．数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；
(2)分组求和法；
(3)倒序相加法；
(4)错位相减法；
(5)裂项法；
如：＝－；＝.
(6)并项法．
数列求和时要明确：项数、通项，并留意依据通项的特点选取合适的方法．
[问题4] 数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．
答案
5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果确定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．
[问题5] 不等式－3x2＋5x－2>0的解集为________．
答案
6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必需争辩这个数的正负．两个不等式相乘时，必需留意同向同正时才能进行．
[问题6] 已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的________条件．
答案 充分不必要
7．基本不等式：≥ (a，b>0)
(1)推广： ≥≥≥(a，b>0)．
(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
易错警示：利用基本不等式求最值时，要留意验证“一正、二定、三相等”的条件．
[问题7] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是________．
答案 9
8．解线性规划问题，要留意边界的虚实；留意目标函数中y的系数的正负；留意最优整数解．
[问题8] 设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是________．
答案
易错点1 忽视对等比数列中公比的分类争辩致误
例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．
错解 －1
找准失分点 当q＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q≠1.
正解 ①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，
∴S3＋S6＝S9成立．
②当q≠1时，由S3＋S6＝S9
得＋＝
∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.
∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.
答案 1或－1
易错点2 忽视分类争辩或争辩不当致误
例2 若等差数列{an}的首项a1＝21，公差d＝－4，求：Sk＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|.
错解 由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，
因此由an≥0，解得n≤，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开头，以后各项均小于0.
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|
＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)
＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)
＝2k2－23k＋132
所以Sk＝2k2－23k＋132.
找准失分点 忽视了k≤6的状况，只给出了k≥7的状况．
正解 由题意，知an＝21－4(n－1)＝25－4n，因此由an≥0，解得n≤，即数列{an}的前6项大于0，从第7项开头，以后各项均小于0.
当k≤6时，
Sk＝|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝a1＋a2＋…＋ak
＝－2k2＋23k.
当k≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|ak|
＝(a1＋a2＋a3＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋ak)
＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋ak)
＝2k2－23k＋132，
所以Sk＝.
易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误
例3 各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.
错解 150或－200
找准失分点 数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30的公比q10>0.忽视了此隐含条件，就产生了增解－200.
正解 记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，
b1，b2，b3，b4是以公比为r＝q10>0的等比数列．
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，∴r＝2或r＝－3(舍去)，
∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150.
答案 150
易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误
例4 已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求2＋2的最小值．
错解 由2＋2＝a2＋b2＋＋＋4
≥2ab＋＋4≥4＋4＝8，
得2＋2的最小值是8.
找准失分点 两次利用基本不等式，等号不能同时取到．
正解 2＋2
＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)＋＋4
＝[(a＋b)2－2ab]＋＋4
＝(1－2ab)＋4
由ab≤2＝，得1－2ab≥1－＝，
且≥16,1＋≥17.
∴原式≥×17＋4＝(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴2＋2的最小值是.
1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10 B．18
C．20 D．28
答案 C
解析 由于a3＋a8＝10，所以由等差数列的性质，得a5＋a6＝10，
所以3a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.
2．若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b中，正确的不等式有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
解析 由<<0，得a<0，b<0，
故a＋b<0且ab>0，所以a＋b<ab，即①正确；
由<<0，得>，
两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；
由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，所以a>b，即③错误，选B.
3．已知，x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy有( )
A．最小值e B．最小值
C．最大值e D．最大值
答案 A
解析 x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，ln x·ln y＝()2，即＝ln x·ln y≤()2，ln x＋ln y≥1，ln xy≥1，故xy≥e.
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
答案 A
解析 ∵{an}是等比数列，
∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，
记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，
进而得S15－S10＝k，于是S15＝k，
故S15∶S5＝k∶2k＝3∶4.
5．把一数列依次按第一个括号内一个数，其次个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )
A．195 B．197
C．392 D．396
答案 C
解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的其次个括号，即第50个括号中应是两个数．又由于每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，其次个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.
6．已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．
答案 2
解析 点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则m＋2n＝1；2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2.
7．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．
答案 4
解析 由x，a，b，y成等差数列知a＋b＝x＋y，①
由x，c，d，y成等比数列知cd＝xy，②
把①②代入得＝＝≥4，∴的最小值为4.
8．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．
答案 4
解析 画出可行域D，如图中阴影部分所示，而z＝·＝x＋y，
∴y＝－x＋z，
令l0：y＝－x，
将l0平移到过点(，2)时，
截距z有最大值，
故zmax＝×＋2＝4.
9．已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)．数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是________．
答案 (4,8)
解析 ∵{an}是单调递增数列，
∴，，
∴4<a<8.
10．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足8Sn＝a＋4an＋3，且a2是a1和a7的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn＝[log2()]，求b1＋b2＋b3＋…＋b2n.
解 (1)由8Sn＝a＋4an＋3，①
知8Sn－1＝a＋4an－1＋3(n≥2，n∈N)．②
由①－②得8an＝(an－an－1)(an＋an－1)＋4an－4an－1，
整理得(an－an－1－4)(an＋an－1)＝0(n≥2，n∈N)．
∵{an}为正项数列，
∴an＋an－1>0，
∴an－an－1＝4(n≥2，n∈N)．
∴{an}为公差为4的等差数列，由8a1＝a＋4a1＋3，得a1＝3或a1＝1.
当a1＝3时，a2＝7，a7＝27，不满足a2是a1和a7的等比中项．
当a1＝1时，a2＝5，a7＝25，满足a2是a1和a7的等比中项．
∴an＝1＋(n－1)4＝4n－3.
(2)由an＝4n－3得bn＝[log2()]＝[log2n]，
由符号[x]表示不超过实数x的最大整数知，当2m≤n<2m＋1时，
[log2n]＝m，所以令S＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝[log21]＋[log22]＋[log23]＋…＋[log22n]
＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n－1＋…＋n.
∴S＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n－1)×2n－1＋n，①
2S＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n－1)×2n＋2n.②
①－②得
－S＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－1－(n－1)2n－n
＝－(n－1)2n－n＝(2－n)2n－n－2，
∴S＝(n－2)2n＋n＋2，
即b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(n－2)2n＋n＋2.
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