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数学（理科）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，集合，则的子集为
A．2 B．4 C．8 D．16
2、如图，复平面上的点到原点的距离都相等，若复数所对应的点为，则复数是虚数单位的共轭复数所对应的点为
A． B．
C． D．
3、给出下列四个命题，命题是的充分不必要条件；
命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是
A． B． C． D．
4、若某市8所中学参与中同学合唱竞赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是
A．91 5.5 B．91 5
C．92 5.5 D．92 5
5、已知关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是
A． B．
C． D．或
6、已知变量满足：，则的最大值为
A． B． C．2 D．4
7、执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A．5 B．6 C．7 D．8
8、指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是
9、开放式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线和
圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为
A． B．
C． D．
10、已知函数且的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、某校在一次测试中约有600人参与考试，数学考试的成果试卷满分150分），统计结果显示数学考试成果在80分到120分之间的人数约为总人
数的，则此次测试中数学考试成果不低于120的同学约有 人。
12、一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
13、已知向量与的夹角为，且，
若，且，则实数的值为
14、已知双曲线的版焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支于两点，若抛物线的准线被双曲线解得的弦长是为双曲线的离心率），则的值为
15、已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知，。
（1）求的单调递增区间和对称中心；
（2）在中，角所对应的边分别为，若有，
，求的面积。
17、（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值。
18、（本小题满分12分）
交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念，记为，其范围为，分别有五个级别：畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严峻拥堵，在晚高峰时段，从某市指挥中心选取了市区20个路段，依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示。
（1）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这
两个路段至少有一个未毁灭严峻拥堵的概率；
（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽
取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望。
19、（本小题满分12分）
数列的前n项和为，，等差数列的各项为正实数，其前n项和为，且，又成等比数列。
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，当时，求数列的前n项和。
20、（本小题满分13分）
如图，已知椭圆：，点A、B是它的两个顶点，过原点且斜率为的直线与线段AB相较于点D，且与椭圆相较于E、F两点。
（1）若，求的值；
（2）求四边形面积的最大值。
21、（本小题满分14分）
已知函数
（1）求的单调区间；
（2）设是曲线的一条切线，证明上的任意一点都不能在直线的上方；
（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值。
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