资源描述
填空题的解法
【题型特点概述】
1．填空题的特征
填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区分：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；其次，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较机敏．
从历年高考成果看，填空题得分率始终不是很高，由于填空题的结果必需是数值精确 、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、精确 ”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不行“小题大做”，而要达到“精确 ”，则必需合理机敏地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
2．解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形结合法、构造法、归纳推理法等．
方法一 直接法
直接法就是从题设条件动身，运用定义、定理、公式、性质、法则等学问，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要擅长透过现象看本质，自觉地、有意识地接受机敏、简捷的解法．
例1 已知椭圆C：＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
解析 由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1,0)，
F2(1,0)，由于椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，所以·＝y1y0，由于点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，·的最大值为.
答案
思维升华 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要依据题目的要求机敏处理，多角度思考问题，留意一些解题规律和解题技巧的机敏应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速精确 地求解填空题的关键．
已知复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则复数zi在复平面上所对应的点的坐标为________．
答案 (0,1)
解析 由于复数z＝a＋(a－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，
所以a－1＝0，
解得a＝1.
所以复数z＝1，所以zi＝i.
所以复数zi在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)．
方法二 特例法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
解析 方法一 ∵·＝·(＋)＝·＋·
＝·＋·(＋)＝·＋2·，
∵AP⊥BD，∴·＝0.
又∵·＝||||cos∠BAP＝||2，
∴·＝2||2＝2×9＝18.
方法二 把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则·＝18.
答案 18
思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要留意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的方法二把平行四边形看作正方形，从而削减了计算量．
(1)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝________.
(2)cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为________________．
答案 (1) (2)
解析 (1)不妨取||＝2，
则||＝2，∠ADB＝，
∴·＝(－)·＝·－·
＝2×1×cos＋0＝.
(2)令α＝0°，则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝.
方法三 数形结合法(图解法)
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，快速作出推断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
例3 已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．
解析 函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，从而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
思维升华 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学学问便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．精确 运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
(2021·北京)设D为不等式组表示的平面区域．区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
答案
解析 作不等式组表示的平面区域，如图所示(△OAB及其内部)，易观看知，所求最小值为点P(1,0)到2x－y＝0的距离d＝＝ .
方法四 构造法
构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较简洁的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础学问和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，乐观联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中查找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例4 (1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
(2)，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________．
解析 (1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
(2)由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝()′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.
答案 (1)π (2)<<
思维升华 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要依据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己生疏的问题．第(1)题奇异地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很简洁得到解决．
(1)已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系为________．
(2)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出全部正确结论的序号)．
答案 (1)a>b>c (2)①②④
解析 (1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.
当0<x<1时，f′(x)>0，
即函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1>>>>0，∴a>b>c.
(2)用正方体ABCD—A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影相互平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影相互垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．
方法五 归纳推理法
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后依据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊生疏到一般性生疏的推演过程，这里可以大胆地猜想．
例5 观看下列算式：13＝1,23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若某数m3按上述规律开放后，发觉等式右边含有“2 015”这个数，则m＝________.
解析 由题意可得第n个算式的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个算式的第一个数为an，则有a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，以上n－1个式子相加可得an－a1＝，故an＝n2－n＋1，可得a45＝1 981，a46＝2 071，故可知2 015在453的开放式中，故m＝45.
答案 45
思维升华 归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及．即通过前几个等式或不等式动身，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘基本关系，需要对相应的数字的规律进行观看、归纳，一般对等式或不等式中的项的结构保持全都．
(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
依据上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．
答案 (1)1 000 (2)6n＋2
解析 (1)由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推想：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1 100－100＝1 000.
(2)观看题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.
1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可接受特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，经常需要几种方法综合使用，才能快速得到正确的结果．
2．解填空题不要求求解过程，从而结论是推断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要留意如下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、精确 ；
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；
(3)要重视对所求结果的检验及书写的规范性．
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