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板块四.平面对量的应用
典例分析
题型一：向量综合
【例1】 设，，是任意的非零平面对量，且相互不共线，则：
① ②
③不与垂直 ④中，
真命题是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【例2】 设向量满足：，，．以的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（ ）
A． B． C． D．
【例3】 ⑴ 已知，，，，求证：．
⑵ 已知，．求，．
⑶ 已知，，若，求、的值．
【例4】 关于平面对量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中假命题的序号为 ．（写出全部真命题的序号）
【例5】 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标．
【例6】 设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【例7】 已知，，向量与共线.
（1）求关于的函数；
（2）是否在直线和直线上分别存在一点，使得满足为锐角时取值集合为或？若存在，求出这样的的坐标；若不存在，说明理由.
【例8】 已知向量满足，且，其中.
（1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值；
（2）当取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果作出几何解释.
【例9】 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t
求：(1) t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限？
(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【例10】 已知A、B、C是直线上的不同的三点，O是外一点，向量满足,记.求函数的解析式；
【例11】 已知，是两个向量集合，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：与三角函数综合
【例12】 已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例13】 已知为的三个内角的对边，向量，
．若，且，则角 ．
【例14】 已知向量，，且，那么与的夹角的大小是_______．
【例15】 已知向量，，且.
⑴求及；
⑵求函数的最大值，并求使函数取得最大值时的值.
【例16】 若，，且，其中．
（1）用表示；（2）求当时，与所成角的大小．
【例17】 已知向量和，，且，求的值．
【例18】 设，，，，，与的夹角为，与的夹角为（1）用表示；（2）若，求的值．
【例19】 已知为坐标原点，，（，，为常数），若，
（1）求关于的函数解析式；
（2）若时，的最大值为2，求的值，并指出函数的单调区间．
【例20】 在锐角中，已知，求角的度数．
【例21】 设，向量．
⑴证明：向量与垂直；⑵当时，求角．
【例22】 已知点，，，且．
⑴若，求与的夹角；
⑵若，求的值．
【例23】 已知、、的坐标分别为，，．
⑴若且，求角的值；
⑵若，求的值．
【例24】 已知向量，若，且.
⑴试求出和的值；⑵求的值.
【例25】 设向量，记．
⑴求函数的最小正周期；
⑵画出函数在区间的简图，并指出该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
⑶若，函数的最小值为，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值．
【例26】 已知向量，，且，
⑴求及；
⑵若的最小值是，求的值．
【例27】 设平面上、两点的坐标分别是，，其中．
⑴求的表达式；
⑵记，求函数的最小值．
【例28】 为△的内角A、B、C的对边，，，且与的夹角为，求C；
【例29】 在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量 与的夹角为，求角B的大小
【例30】 已知A、B、C三点的坐标分别为、、
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值。
【例31】 已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，.求角A的大小；
【例32】 在中，已知角为锐角，向量
，
，．
⑴向量时，求；
⑵求的最大值．
⑶若，求的三个内角和边的长．
【例33】 如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直线的倾斜角为，，设，．
⑴用表示点的坐标及；
⑵若，求的值．
题型三：平面对量在平面几何
【例34】 在直角坐标系中，已知点A（0，1）和点B（—3，4），若点C在∠AOB的一平分线上，且，则____________.
【例35】 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点， 的延长线与交于点．若，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【例36】 若是内一点，，则是的（ ）
Ａ．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【例37】 若点是的外心，且，则内角的大小为____
【例38】 在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值为 .
【例39】 已知点是的重心，，用表示．
【例40】 在△ABC中，已知向量与满足且，则△ABC为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【例41】 已知，，，点C在内，且，设 ，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
【例42】 是平面内确定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹确定通过的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【例43】 已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线求证AC⊥BD
【例44】 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
【例45】 四边形中，
（1）若，试求与满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。
【例46】 求证：已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且设，，则．
【例47】 非正的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，求实数的值．
【例48】 如图，设为的重心，过的直线与分别交于和，已，，与的面积分别为和．求证：
⑴；⑵．
题型四: 平面对量的实际应用（含物理中的应用）
【例49】 假如一架向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则 （ ）
A． s>|a| B． s<|a| C． s=|a| D． s与|a|不能比大小
【例50】 一个30º的斜面上放有一个质量为1kg的球，若要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为p，球对斜面的压力为ω，则球的重力沿斜面方向的分力f=___________保持球在斜面上静止不动的推力f′=
【例51】 点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开头时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为( )
A．（－2，4） B （10，－5） C （－30，25） D （5，－10）
【例52】 设炮弹被以初速v0和仰角抛出（空气阻力忽视不计）.当时速度v0的大小确定时，放射角多大时，炮弹飞行的距离最远.
【例53】 某人骑车速度，方憧憬东，此时感到风从正北方吹来，若将速度加快一倍，则感到风从东北方向吹来，求风速与风向.
【例54】 在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，假如船从岸边动身，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应当指向何处？
【例55】 已知三个力的合力，求。
【例56】 已知两个力的夹角是直角，且 已知它们的合力与的夹角为，，求的大小。
【例57】 一条河的两岸平行，河宽，一小船从处动身航行到对岸，小船速度为，水流速度为。(1)当之间的夹角为多少时，小船才能到达正对岸处，此时位移的大小，方向怎样？时间是多少？(2) 当之间的夹角为多少时，小船航行的时间最短？此时位移的大小方向怎样？时间是多少？
【例58】 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距海里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里?
题型五：与解析几何结合
【例59】 如图，抛物线上有两点、，且，又，
⑴求证：；
⑵若，求所在直线方程．
【例60】 已知向量，，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心 ．相交且过圆心 C．相切 D．相离
【例61】 已知，若动点满足，求动点P的轨迹方程.
【例62】 已知两点，且点使成公差小于的等差数列.（1）点的轨迹是什么曲线？（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求.
【例63】 如图，给出定点 和直线，是直线上的动点，的平分线交于点，求点的轨迹方程.
C
A
B
O
x
y
【例64】 如图，设点为抛物线上非原点的两个动点，已知，，求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
A
B
M
O
【例65】 已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。
（1）若，求P点的轨迹C的方程；
（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
【例66】 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程； （2）求证：；
（3）在x轴正半轴上是否存在确定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【例67】 已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．
（Ⅰ）求点的轨迹；
（Ⅱ）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
【例68】
（Ⅰ）求M()的轨迹C；
(Ⅱ)过点（0，3）作直线与曲线交于A,B两点，，是否存在直线使OAPB为矩形．
【例69】 已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．
（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；
（II） 若直线l： y=kx+m (m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
题型六：在代数中的应用
【例70】 已知，且x，y，z，a，b，c为非零实数，求证。
【例71】 已知，求证。
【例72】 已知a，b，c，且，求证。
【例73】 求函数的最大值。
【例74】 求函数的最大值。
【例75】 求函数的最小值。
【例76】 设（i＝1，2，……，2003）为正实数，且，试求的最小值。
【例77】 已知，求的最小值。
【例78】 设a、b、c、d均为正数，求证
【例79】 若，求证：
【例80】 求证：若和都是正数，则
【例81】 求函数的最大值。
【例82】 求函数的值域。
【例83】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求的最大值
【例84】 已知x>0,y>0，且x+y=1，求证：。
【例85】 求证：
【例86】 设任意实数x，y满足，， 求证：
【例87】 设a，b为不等的正数，求证
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