波纹管膨胀节的选型设计与应用.doc

金属波纹管膨胀节的设计与应用

膨胀节也称补偿器，是一种弹性补偿装置，主要用来补偿管道或设备因温度影响而引起的热胀冷缩位移 (有时也称热位移)。膨胀节的补偿元件是波纹管。在操作过程中，波纹管除产生位移 (变形)外，往往还要承受一定的工作压力，因此，膨胀节也是一种承压的弹性补偿装置，所以，保证其安全可靠地工作是十分重要的。
    膨胀节除作为热位移补偿装置使用外，也常被用于隔振和降噪。
    膨胀节波纹管的波形较多，常用的有U形、Ω形、S形等，在这里，主要介绍U形波纹管膨胀节的设计与应用中的有关问题。

1、膨胀节结构类型及其应用
1.l U形波纹管膨胀节的结构类型
    U形波纹管膨胀节的结构类型较多，不同类型的膨胀节，适用的场合也各不相同。主要的类型有单式轴向型、单式和复式铰链型、复式自由型、复式拉杆型、直管和弯管压力平衡型等。各种类型的结构示意图见图l~图10。
    为提高膨胀节的承载能力，可设计带加强环或稳定环的膨胀节，其纳构示意如图11所示。
(1) 单式轴向型膨胀节
    由一个波纹管及结构件组成、主要用于吸收轴向位移而不能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图1)。 

(2) 单式铰链型膨胀节
    由一个波纹管及销轴、铰链板和立板等结构件组成、受波纹管压力推力的膨胀节
     (见图2)。 

(3) 单式万向铰链型膨胀节
    由一个波纹管及销轴、铰链板、万向环和立板等结构组成、能在任一平而内角位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图3）。

(4) 复式自由型膨胀节
    由中间管所连接的两个波纹管(及控制杆或四连杆)等结构件组成、主要用于吸收轴向与横向组合位移而不能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图4)。

(5) 复式技杆型膨胀节
    由中间管所连接的两个波纹管及拉杆和端板等结构件组成、能吸收任一方向横向位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节，(见图5)。

(6) 复式铰链型膨胀节
    由中间管所连接的两个波纹管及销轴、铰链板和立板等结构件组成、只能吸收单方向横向位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图6)。

(7) 复式万向铰链型膨胀节
    由中间管所连接的两个波纹管及十字销轴、铰链板和立板等结构件组成、能吸收一方向横向位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图7)。

(8)弯管压力平衡型膨胀节
    由一个或中间管所连接的两个工作波纹管和一个平衡波纹管及弯头或三通、封头、拉杆和端板等结构件组成、主要用于吸收轴向与横向组合位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图8)。

(9) 直管压力平衡型膨胀节
    由位于两端的两个工作波纹管和位于中间的一个平衡波纹管及拉杆和端板等结构件组成、主要用于吸收轴向位移并能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图9)。

(10)外压单式轴向型膨胀节
    由承受外压的波纹管及外管和端环等结构件组成、只用于吸收位移而不能承受波纹管压力推力的膨胀节(见图10） 。

1.2 膨胀节的应用示例
    不同型式的膨胀节有不同位移补偿功能，在管路设计中，可以根据管路的结构及压力与通径等参数综合考虑给予选型。
1.2.1 轴向位移的补偿

    图12是采用单式膨胀节吸收管线轴向膨胀的一个良好的典型实例。

    图13是采用复式膨胀节吸收管线轴向膨胀的一个良好的典型实例。

    图14是采用膨胀节吸收带支管的管线的轴向膨胀的一个良好的典型实例。

    图15是采用膨胀节吸收具有异径管的管线的轴向膨胀的一个良好的典型实例。

图16表示一个包含"z"形管段的管线上使用膨胀节的方法。

    图17是采用弯管压力平衡式膨胀节吸收管线轴向膨胀的一个良好的典型实例。

    图18表示如何采用直管压力平衡式膨胀节吸收长的直管段上的轴向位移。

    图19是采用弯管压力平衡式膨胀节吸收汽轮机、泵、压缩机等设备的热膨胀的一个良好的典型实例。膨胀节的主要作用是减小作用到设备壳体上的载荷。
1.2.2 对横向位移、角位移及其组合位移的补偿
    在具有横向位移、角位移及其组合位移的场合，正确选择和使用膨胀节需要考虑到管道的构形、运行条件、预期的循环寿命、管道和设备的承载能力、可用于支承的结构物等多种因素。在某些情况下，可能有几种膨胀节都适合同一项应用，这时可以单纯根据经济性来考虑选择哪一种。然而，更为常见的是在各种可行的设计之中，应考虑到这一种或那一种具有独到之处，特别适合在某些特定的场合下使用。
(1) 单式膨胀节

   图20、图21是采用单式膨胀节吸收轴向与横向组合位移的典型实例。

    图22，图23将图21中膨胀节两端的主固定支架改换为连杆。
(2) 万能式膨胀节
    万能式膨胀节特别适合吸收横向位移。此外，这种设计形式也可用于吸收轴向位移、角位移以及任意由这三种形式合成的位移。万能式膨胀节一般用法是将这种带连杆的膨胀节设置在呈90°的"z"型管道的中间管臂内，图24和图25是两个应用实例。

   图26是在存在轴向与横向组合位移的场合使用弯管压力平衡式膨胀节的典型实例。

    图27表示在管道转角不等丁90°时也可以使用弯管压力平衡式膨胀节。

    图28给出一种常见的非常适于使用弯管压力平衡式膨胀节的场合。

    图29给出了在横向位移较大的场合使用万能压力平衡式膨胀节的实例。
(3) 铰链式膨胀节
    铰链式膨胀节一般以两、三个作为一组使用，用于吸收单平面管系中一个或多个方向的横向位移。在这种系统中每一个膨胀节被它的铰链所制约，产生纯角位移;然而，被管段分开的每对铰链式膨胀节互相配合，能够吸收横向位移。给定单个膨胀节的角位移。每对铰链式膨胀节所能吸收的横向位移与其铰链销轴之间的距离成正比，因此为了使膨胀节充分发挥效用，应尽量加大这一距离。
    膨胀节的铰链通常用于承受作用于膨胀节上的全部压力推力;另外，也可以用于承受管道和设备的重量、风载或类似的外力。
    图30说明如何用双铰链系统吸收单平面"z"形弯管的主要热膨胀。

    如果单平面管系的柔性不足以吸收双铰系统的弯曲挠度，或者由弯曲而产生的载荷超过了连接设备的许用极限，则可采用具有三个铰链式膨胀节的系统。图31即表示在单平面"Z"形弯管中的三铰系统。竖直管段的热膨胀将由B和C两个膨胀节的动作来吸收。于是，很明显，膨胀节B必须能吸收由A和C两个膨胀节一起形成的转动。

    图32说明在弯管角度不等于90°时，使用铰链式膨胀节的工作原理。在这里只需要使用中间固定支架平面导向支架。

    图33说明连接设备亦产生平面位移时应用铰链式膨胀节的实例。

    图34给出了设备与管道连接系统中应用铰链膨胀节的实例。
(4) 万向铰链式膨胀节

    正如铰链式膨胀节在平面管系中具有很大的优越性一样，万向铰链式膨胀节在空间管系中具有类似的优越性。万向铰链式膨胀节具有吸收任意平面内的角位移的能力，常常利用这一点将它们组成一对，用来吸收横向位移。图35给出了一个应用实例。
    如果不可能或不打算利用管道的弯曲来吸收竖直管臂的伸长，则可采用如图36所示由两个万向铰链式膨胀节和一个铰链式膨胀节组成的系统。

2、U形波纹管膨胀节刚度和应力计算
    符号说明:
    Fex---- 作用在以Dm为直径的圆周上的轴向力，N;
    e

x---- 单波轨向变形量，mm;     h---- 波纹管的波高，mm;
    Dm---- 波纹管的平均直径，mm;   q---- 波纹管的波距，mm;
           Dm=Db+h                 r---- 波纹管波纹的曲率半径，mm;
    Db---- 波纹管直边段内径，mm;   a---- 波纹管波纹的直线段长度，mm;
    δ---- 波纹管的名义厚度，mm;  δm---- 波纹管成形后的壁厚，mm;
    E---- 波纹管材料的弹性模量，Mpa;  m----波纹管厚度为δ的层数;
    Cm---- 材料强度系数，热处理态波纹管取Cm=l.5；成形态波纹管取Cm=3.0;
    Cwb---- 波纹管纵向焊缝;
    Cf、Cp、Cd---- 形状尺寸系数，由图38、41、42求取。
    fi---- 波纹管单波轴向刚度，N/mm;
    Kx---- 膨胀节整体轴向刚度，N/mm;
    Ky---- 膨胀节整钵横向(侧向)刚度，N/mm;
    Kθ---- 膨胀节整体弯曲(角向)刚度,K·m/°θ;
    Ku---- 计算系数
      Ku=(3Lu2-3LbLu)/(3Lu2-6LbLu+4Lb2)
    Lb---- 波纹管的波纹段长度，mm;Lb=Nq
    N---- 一个波纹管的波数;
    Lu----复式膨胀节中，两波纹管最外端间的距离，mm;
2.1 刚度计算
2.1.1 波纹管单波轴向刚度计算
    波纹管的波高与直径之比较小，如将其展开，可简化为如图37(b)所示的两端受轴向线载荷的曲杆。轴向的总力为Fex。在弹性范围内，利用变形能法可以推导出轴向力与轴向变形之间的近似关系式(1)。
           Fex=[(πDmEδ3)/24C]-ex          N              (1)
    式中  C=0.046r3-0.142hr2+0.285h2+0.083h3       mm3     (2)   

    则波纹管刚度fi′为 fi′=Fex/ ex                        (3)
    考虑到力学模型的近似性以及波纹管制成后壁厚减薄等因素，对公式（1）进行修正并代入（3）式则得：
             fi′=(1.7DmEδm3)/(h3Cf)          N/mm         (4)
    式中：δm=δ√Db/Dm                                     (5)
    对于多层结构的波纹管，其刚度按（6）式计算：
        f

i=(1.7DmEδm3m)/(h3Cf)          N/mm         (6)

                    图38  系数Cf
2.1.2 膨胀节整体弹性刚度计算
    （1）轴向刚度
        （a）单式膨胀节整体刚度
               Kx=fi/N             (7)
        （b）复式膨胀节整体刚度
               Kx=fi/2N            (8)
    （2）侧向刚度
         （a）单式膨胀节整体刚度
               Ky=(1.5Dm2fi)/[LbN(Lb±X)2]        (9)
         （b）复式膨胀节整体刚度
               Ky=(KuDm2fi)/[4NLu(Lu-Lb±X/2)]     (10)
         侧向刚度计算中，轴向位移X拉伸时取“+”，压缩时取“-”。
    （3）整体弯曲刚度
               Kθ=（πDm2fi）/（1.44×106N）        (11)
2.2 未加强U形波纹管的应力计算
    (1)内压引起的周向薄膜应力σ

2   
    由图39可知，当受内压P作用时，在一个U形波的纵截面上的内力与作用在半个环壳上的外力平衡。
         4(πr+α)δmσ2=qDmP
        σ2=(qDmP)/[4(πr+α)δm]    MPa               (12)
    几何尺寸r、α有如下关系：
         r=q/4
        α=h-q/2                                      (13)
    将（13）式代入（12）式，得周向薄膜应力为：
        σ2=(DmP)/[2mδm(0.571+2h/q)]      MPa         (14)  
    （2）内压引起的径向薄膜应力σ3
    当波纹管受内压P作用时，在以D与Db为直径的两个环形截面上的内力与轴向外力平衡，则：
       π(D+Db)δmσ3=(π/4)(D2-Db2)P             (15)
    因D=Db+2h,代入上式，经整理后得：
        σ3=Ph/2δmm              MPa             (16)
    （3）内压引起的径向弯曲应力σ4
    在经线为半个U形环壳上切出单位宽度的窄条（见图40），设两端固定，并受均布压力P作用，可得最大弯距为：
       M=P·h2/12                  (17)
       断面系数为：W=πDmδm2/6       (18)
       则径向弯曲应力为：
           σ4=M/w=P·h2/2δm2      MPa   (19)
       考虑形状尺寸的影响，引进修正系数(EJMA法)得：
           σ4=（P·h2Cp）/2cm            (20)

          图39 U形膨胀节的几何参数。

          图40  环壳上的几何尺寸
    （4）由轴向力Fex引起的径向薄膜应力σ5   
         由式（3）、式（4）可得：
            σ5=Fex/πDmδm=（1.7Eδm2ex）/（πh3Cf）    MPa   (21)
         按EJMA法修正后，其公式形式为：
            σ5=（Eδm2ex）/（2πh3Cf）                 MPa   (22)
         式（22）为实际计算公式。
     （5）由轴向力Fex引起的径向弯曲应力σ6   
         可以证明在Fex作用下，最大弯矩发生在波顶B处（见图37），其值为：
             Mmax=Fexh/2                 (23)
         断面系数为：W=πDmδm2/6         (24)
         则弯曲应力为：σ6=Mmax/w=3Fexh/πDmδm2  MPa    (25)
         引入公式（3）、（4）的关系，得：σ6=（5Eδmex）/（πh2Cd）  MPa  (26)
         按EJMA法修正后得：
            σ6=（5Eδmex）/（3h2Cd）  MPa         （27）
      （6）应力评定
           a、薄膜应力
              σ2≤Cwb[σ]bt                (28)
              σ3≤[σ]b                    
           b、弯曲应力：σ3+σ4≤Cm[σ]bt     (29)
           c、经向总应力范围：
              σt=0.7(σ3+ σ4)+σ5+σ6          (30)

    以上介绍的U形膨胀节计算的方法，尽管由于力学模型的简化，给计算结果带来一定程度的误差，但因公式比较简单，又根据实际情况进行了修正与调整，故在工程设计时仍然得到广泛的应用。
    U形膨胀节也可看作环壳与环板的组合体，承受轴对称的载荷。列出平衡方程进行求解也可得出计算公式。但其过于繁复，不便于应用。
    近年来利用有限元法对膨胀节的应力分析研究工作也取得了进展。它以有限单元的集合代替无限单元的连续体，作物理上的近似，通过能量原理得出离散方程，经过求解，可以得到各离散单元的应力与位移的数值解。有利于进行精确的设计计算。
3、U形波纹管膨胀节的稳定性
    符号说明：
      Db--波纹管直边段内径，mm;
      Cz--转换点系数，Cz=√(4.72fiuq2)/(σ0.2tDbAc)   
      Ac--单个波纹的金属截面积，mm2;Ac=(0.571q+2h)nδm   
      Cθ--基于初始角位移的柱失稳压力削弱系数；
           Cθ=1-1.822r+1.348r2-0.529r3
      r--初始角位移与最终角位移之比：
           r=(θDm)/(θDm+0.3Lb)
     θ--单个波纹管的角位移，弧度；
      a--平面失稳应力影响系数；a=1+2δ

2+(1-2δ2+4δ4)0.5   
     δ-- 平面失稳应力比： δ=K4/3K2    
     K2--平面失稳系数: K2=（Dm/2mδm）/[1/(0.571+2h/q)]
     K4--平面失稳系数: K4=(Cp/2m)/(h/δm)2   
         其他符号意义同前。
3.1 波纹管的稳定性概念
    膨胀节在使用中，若内压过大可以使波纹管丧失稳定，即出现屈曲。屈曲对波纹管的危害在于它会大大降低波纹管的疲劳寿命和承受压力的能力。最常见的两种形式是柱屈曲和平面屈曲。柱屈曲系指波纹管的中部整体的侧向偏移，它使波纹管的中心线变成如图43(a)所示的曲线。当波纹管的长度与直径之比比较大时这种现象经常发生，与压杆失稳相似。

    波纹管柱失稳极限设计压力计算式见式 (31)、(32)，这些公式是假设波纹管两端固定。在其他支承条件下的极限设计压力按以下方法估算，
      固定/铰支: 0.5Psc
      铰支/铰支: 0.25Psc
      固定/横向导向: 0.25Psc
      固定/自由: 0.06Psc
    应该指出:外压不会产生柱屈曲，当波纹管承受外压时可按3.3中讨论的方法对其稳定性进行校核。
    平面屈曲系指一个或多个波纹平面发生移动或偏转:即这些波纹的平面不再与波纹管轴线保持垂直。变形的特点是一个或多个波纹出现倾斜或翘曲，如图43(b)所示。造成这种屈曲主要是由于沿子午向作用的弯曲应力过大，并在波峰和波谷形成了塑性铰。当波纹管的长度与直径之比比较小时经常会发生这种现象。对无增强波纹管进行平面屈曲校核的方法见公式(33)。
    为了防止波纹管在试验条件下发生屈曲，试验压力应当低于或等于极限设计压力的1.5
倍，这是根据材料在室温下能够保持柱稳定或平面稳定的力学性质而确定的。另外，应该使试验的固定方式尽量接近现场的安装条件。
3.2 U形波纹管极限设计内压的计算
    (1)波纹管两端固支时，柱失稳的极限设计内压
     a)当L

b/Db≥Cz时， 
          GB/T 12777-99中给出的计算式为:
      Psc=(0.34πfiu)/(N2q)      MPa             (31a)
      EJMA-98中给出的计算式为：
      Psc=(0.34πCθfiu)/(N2q)   MPa              (31b)
   b)当Lb/Db＜Cz时，
      GB/T 12777-99中给出的计算式为:
      Psc=[(0.58Acσ0.2t)/(Dbq)][1-0.6Lb/CzDb]      MPa     (32a)
      EJMA-98中给出的计算式为：
      Psc=[(0.87Acσ0.2t)/(Dbq)][1-0.73Lb/CzDb]     MPa      (32b)
   (2)波纹管固支时平面失稳的极限设计内压力
      GB/T 12777-99中给出的计算式为:
      P

si=(1.4nδm2σ0.2t)/(h2Cp)        MPa       (33a)
      EJMA-98中给出的计算式为：
      Psi=(0.51σ0.2t)/K2√a             MPa       (33b)
3.3 U形波纹管受外压时周向稳定性计算
    当波纹管承受外压时，还需对波纹管以及与其相连的壳体进行稳定校核，这时将波纹管视为具有厚度是的δeq当量外压圆筒，其直径为Dm，波数为N，则长度为Lb=Nq，此当量外压圆筒的断面惯性矩I2-2=(Lbδeq3)/12,应与原波纹管的断面惯性矩I1-1相等（见图44），即：
      I1-1=I2-2=(Lbδeq3)/12         mm4           (34)
    故      δeq为（12I1-1/Lb）开三次方            （35）
    而I1-1值可以根据图44所示图形计算，其近视公式为：
      I1-1=Nmδ{[(2h-q)3/48]+0.4q(h-0.2q)2}  mm4    (36)

    与波纹管相连的筒体壁厚为S0,如果S0≤δeq，则将波纹管与筒体作为一连续的筒体进行外压校核。
    如果S0＞δeq，则将波纹管视为外直径为Dm，长度为Nq的当量圆筒进行外压校核。
    经校核后，假若设计外压P大于许用外压[P]，则应修改设计参数，重新按以上步骤进行计算，直到满足P≤[P]的条件为止，外压校核按GB150-98中

6.2.1规定进行。
4、U形波纹管膨胀节的疲劳寿命计算 
    U形膨胀节作为补偿变形的元件，所承受的反复载荷所产生的应力常超过本身材料的屈服极限，这样会引起高应变低循环疲劳破坏。关于疲劳寿命的计算，各国所用公式不尽相同，但都同源于柯芬(Coffin)----曼森(Manson)公式。
    柯芬和曼森分别提出了描述塑性循环应变范围与材料循环寿命之间的关系式，其一般形式为:
            NMεp=C                  (37)
    式中:N----材料破坏时的循环寿命次数，
         εp----塑性循环应变范围;
         M、C----材料常数。
    在低于蠕变温度下，柯芬提出的关系式为
      N0.5εp=εf/2    (M=0.5,   C=εf/2 )        (38)
    曼森提出的关系式为:
      N0.6εp=εf0.6    (M=0.3,   C=εf0.6 )       （39）         
    式中:εf为材料断裂时的真实应变，称为断裂延性。其值可通过断面收缩率ψ按下式计算：
         εf=In[1/(1-ψ)]         （40）
    式(37)称为柯芬--曼森公式。柯芬公式(38)和曼森公式 (39)都是根据大量实验数据获得的，但由于柯芬所引以为据的多是以试件出现裂纹即判为失效的数据，而曼森所取的则为试件真实断裂数据，故失效循环次数是不相等的。
    为使式(38)便于应用，兰格 (Langer)根据实验验证，进一步得到下式：
        N={[E/4(σ-σ0)]In[1/(1-ψ)]}2          (42)
    式中：E----材料的弹性模数，Kg/mm2;
          σ0----材料的持久限,Kg/mm2;
          σ----"虚拟"应力幅，kg/mm2;其值为σ=0.5Eεt    
    对于不锈钢材料SUS27，其 E=2.1X104   kg/mm2;σ0=28.1kg/mm2;ψ=0.625，代入式（41）可得：  N=(2.65×107)/(σ-28.1)2          (42)  
    式(42)即为各疲劳寿命算式的基础公式。对奥氏体不锈钢制的膨胀节再进行实验分析研究，考虑应变集中，尺寸及温度等有关影响因素，对基础公式加以修正，便得出疲劳寿命计算式。由于影响膨胀节疲劳寿命的因素很多，考虑时很难面面俱到，所以得出的计算式也各不相同。
    我国GB/T12777-99《金属波纹管膨胀节通用技术条件》中规定U形波纹管膨胀节疲劳寿命计算式如下：
    对于无加强的波纹管：Nc=[12820/(Ctσt-370)]3.4        (43)
    对于加强的波纹管：  Nc=[35720/(Ctσt-290)]2.9        (44)
              [Nc]=Nc/nf             
    式中：  [Nc]----波纹管设计疲劳寿命，周次；
             Nc----波纹管平均疲劳寿命，周次；
             nf----波纹管设计疲劳寿命安全系数；nf≥10
             Ct----温度修正系数；Ct=Eb/Ebt      
             E

b、Ebt---- 材料在室温和设计温度下的弹性模量，MPa;
             σt----经向（子午向）总应力范围，MPa;
                   σt=0.7(σ3+σ4)+σ5+σ6   
    以上介绍的疲劳寿命计算式，适用于425℃以下未经热处理的奥实体不锈钢波纹管疲劳寿命的计算，循环次数的有效范围是103--105周次。  
5. 波纹管的自振频率与共振防治
    在膨胀节工程应用中，当波纹管的自振频率和系统中的任一振动频率相同或相近时，就会产生共振。这样，一方面使波纹管的寿命大大降低，另一方面将引起容器、管道和法兰等应力集中和残余应力较大部位的泄漏和疲劳断裂。因此，研究波纹管的自振频率，合理地进行工程计算，使之与系统振动频率隔开，以防止发生共振，是十分必要的。
5.1 波纹管的自振频率计算
    膨胀节在实际使用中，大多为水平或垂直于地面安装，可能使波纹管承受横向(梁型)振动和轴向(手风琴型)振动，其自振频率应分别加以计算。
    (1) 轴向自振频率计算
    当将波纹管简化为离散力学模型，即把波纹管的全部质量分割为有限个质点，在两端固支的边界条件下，可推得其轴向自振频率为:
          fi′=Ci√Kx/G          HZ       (45)
    式中Ci为常数，可根据波纹管的波数N从表1查取;Kx和G分别为波纹管的轴向总刚度(N/mm)和重量(N);i为频率阶数，i=1，2，3·……
    当将波纹管视作质量连续均布，根据不同的边界约束条件，可分别求得波纹管的轴向自振频率计算公式:
    ①两端固支时    fi′=49.5i√Kx/G     HZ          (46)
    ②一端固定，另一端自由时，fi′=49.5（i-1/2）√Kx/G     HZ    (47)
    ③一端固定，另一端具有重物（重为W0,N）时，
                fi′=15.76βi√Kx/G     HZ          (48)
      式中βi，可按下列方法求取：βitgβi=a             (49)
                                  βi=(i-1)π+εi                        (50)
    先求出a值，a=G/W

0,在将式（50）代入式（49），经过试差渴求的任意频率阶数的εi （0＜εi＜π/2，i=1,2,3,……）；然后从式（49）相应频率阶数的βi 。
    （2）横向自振频率计算
    将波纹管简化为质量连续均布的直管，可推出在两端故知边界条件下的横向自振频率为：fi′=Ci(Dm/L)√Kx/G     HZ          (51)
    式中：Ci为常数，在1-5阶频率时，Ci分别为124.63，343.55，673.53，1113.28，1663.13；Dm为波纹管平均直径（mm），Dm=D0+h，其中D0、h分别为波纹管波根外径和波高（mm），L为波纹管长度，L=Nq+2L1,其中q和L1分别为波纹管的波距和端部直边端长度（mm），见图45。

    在式（45）-（48），（51）的自振频率计算公式中，为减小自振频率理论计算值与实测值之间的差异，波纹管的轴向刚度Kx应尽量采用相应振动状态下波纹管的实际刚度值。若实际刚度值不知道，则可用下列公式进行计算:
      Kx=1.7E

tDmδm3m/h3nCf     N/mm           (52)
    式中   Et--波纹管材料在工作温度下的弹性模量(N/mm2)
          δm--成型减薄后的波纹管一层材料厚度，
              δm=δ(D0/Dm)0.5   (mm);
          δ--波纹管一层的名义厚度(mm);
          m--波纹管厚度为"δ"的层数;
          Cf--系数。
    此外，对于波纹管的重量G，当管内为气体介质时，因重量较小，在计算轴向和横向自振频率时可忽略，只计算波纹管材料的重量，即：
    G=G1=2πNγmδm[B12-B22+π(B1r1+B2r2)+2(r12-r22)]+2γπ(R2+R1)L1mδm  N  (53)   
    当波纹管内为液体介质时，液体介质的重量对自振频率影响较大，应予计入。对于轴向自振频率的计算应包括各波之间的液体重量G2，即整个波纹管内的液体重量减去管内径以内的液体重量，因此:
    G=G1+G2=G1+Nγ′π[B12(2r1-mδm)+(π/4)B1(2r1-mδm)2
            +(1/6)(2r1-mδm)3+B22(2r2+mδm)3-(π/4)B2(2r2-mδm)2 
            +(1/6)(2r2-mδm)3 -R22q ]       N       (54)
    对于横向自振频率的计算，则应计入整个波纹管内液体的重量G3，即：
      G=G1+G3=G1+G2+LπR22γ′    N           (55)
    式（53）-（55）中：
      γ、γ′--分别为波纹管材料和管内液体的单位体积重量（N/mm3）;
      r1、r2--为波峰、波谷圆弧中间面半径 (mm)；
      B1=R1-r1-(mδm)/2,R1为波纹管外半径(mm),R1=D0/2+h;
      B2=R2+r2+(mδm)/2,R2为波纹管外半径(mm),R2=D0/2-mδm;

5.2 设置波纹管管系的防振
    当在压缩机、真空泵和柴油机等的管道系统中设置膨胀节时，管路设计应使机器的檄发频率、管道内的气柱固有频率、管系结构的固有频率和波纹管的自振频率不相重合。在盲目配管时，有可能使以上某几种频率相等或相近，此时，管系将发生强烈地振动。
    对机器激发频率可按下式求取:f

j=Mn/60     HZ (56)
    式中，n为机器曲轴转速 (rpm);M为在曲轴一转内，在管道的一个端口处，向管道排气或者吸气的次数。如单缸单作用时，M=l:单缸双作用时，M=2。
    有关气柱一端开口，一端闭口情况的固有频率，在声学里己作了完善的研究，可用下式计算：fgi=(i-0.5)C/2L        HZ         (57)
    式中i为频率阶数，i=1，2，3·……;L为气柱长度，通常也就是管道长度（m）;C为气体的声速（m/s），C=√KgRT ,其中K为绝热指数，空气为1.4；g为重力加速度9.8(m/s2) ,R为气体常数，空气为29.3，T为绝热温度(°K) 。
    由式（56）和（57）可得到气体发生共振式应有如下关系：
         fj=fgi=(i-0.5)30C/(Mn)        m     (58)
    若取fj=（0.8-1.2）fgi作为共振区，则共振管长相应的范围值为：
         L=(0.8-1.2)(i-0.5)30C/(Mn)        m     (59)
    采用同样的方法，根据fi′=fj,fi′=(0.8-1.2)fgi 的共振条件，从式（45）或式（46）、式（47）、（48）和式（56）、（57）可分别推得波纹管轴向与机器以及气柱发生共振时的Kx--n,L--Kx关系式：
    ① 波纹管两端固支时 
          Kx=G(Mn/60Ci)2             N/mm       (60)
      L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/2Ci)√G/Kx     m     (61) 
    或    Kx=G(Mn/2970i)2       N/mm         (62)
      L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/99i)√G/Kx     m     (63) 
    ②波纹管一端固定，另一端自由时
      Kx=G[(Mn/2970(i-0.5)]

2       N/mm         (64)
      L=(0.8-1.2)(C/99)√G/Kx     m     (65)
     ③波纹管一端固定，另一端具有重物时
      Kx=G[(Mn/945.6βi]2       N/mm         (66)
      L=(0.8-1.2)(i-0.5)(C/31.55βi)√G/Kx     m     (67)
    关于管系结构的固有频率，在管道的设计阶段，可根据具体管路、支承等情况进行计算，具体计算方法可查阅有关文献。
    综上所述，为防止波纹管及管系发生共振，在设计时应注意到:
    (1)由于机器的转速n通常为一定值，一般不会改变，为使其激发频率与波纹管的自振频率不相重合，波纹管的刚度值应大于或小于由式 (60)或 (62)、式 (64)、(66)的计算值。波纹管的刚度值，尤其是当波纹管作为消振元件使用时，应尽量取其相应工况下的实测值，从而使自振频率的计算值较为精确。必要时，对批量生产的波纹管可进行抽样刚度测试。
    试验情况证明，通过调整波纹管的预变形量使其刚度值发生变化，从而可适当改变其自