资源描述
第1讲 选择题的解法
【题型特点概述】
高考数学选择题主要考查对基础学问的理解、基本技能的娴熟程度、基本计算的精确 性、基本方法的正确运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，留意多个学问点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查机敏应用基础学问、解决数学问题的力气．选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排解后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应认真审题、深化分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保精确 ．
解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，假如全部选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要争辩解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．
方法一 直接法
直接法就是从题干给出的条件动身，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、推断题改编而成的，可直接从题设的条件动身，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过精确 的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对比，从而作出相应的选择．
例1 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，若Sn<a恒成立，则实数a的最小值为( )
A. B.
C. D．2
解析 对任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，取m＝1，则有an＋1＝an·a1⇒＝a1＝，故数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，则Sn＝＝(1－)<，由于Sn<a对任意n∈N*恒成立，故a≥，即实数a的最小值为，选A.
答案 A
思维升华 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平常练习中应不断提高用直接法解选择题的力气，精确 把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实把握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
将函数y＝sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y＝sin(2x＋)(x∈R)的图象重合，则|m－n|的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 函数y＝sin 2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y＝sin 2(x＋m)＝sin(2x＋2m)的图象，向右平移n(n>0)个单位可得y＝sin 2(x－n)＝sin(2x－2n)的图象．若两图象都与函数y＝sin(2x＋)(x∈R)的图象重合，则(k1，k2∈Z)即(k1，k2∈Z)所以|m－n|＝|＋(k1－k2)π|(k1，k2∈Z)，当k1＝k2时，|m－n|min＝.故选C.
方法二 特例法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的全部元素、某种关系恒成立”，这样以全称推断形式毁灭的题目，其原理是“结论若在某种特殊状况下不真，则它在一般状况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
例2 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
解析 (1)取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210，选C.
(2)将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有＝＝，故选B.
答案 (1)C (2)B
思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要留意以下两点：
第一，取特例尽可能简洁，有利于计算和推理；
其次，若在不同的特殊状况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例状况再检验，或改用其他方法求解．
已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m·，则m的值为( )
A. B.
C．1 D.
答案 A
解析 如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，
＝，则有
＋＝2m·，
∴(＋)＝2m×，
∴·2＝m，
∴m＝，故选A.
方法三 排解法(筛选法)
例3 函数y＝xsin x在[－π，π]上的图象是( )
解析 简洁推断函数y＝xsin x为偶函数，可排解D；
当0<x<时，y＝xsin x>0，排解B；
当x＝π时，y＝0，可排解C；故选A.
答案 A
思维升华 排解法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先依据某些条件在选项中找出明显与之冲突的，予以否定，再依据另一些条件在缩小选项的范围内找出冲突，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．
函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，a变动时，方程b＝g(a)表示的图形可以是( )
答案 B
解析 争辩函数y＝2|x|，发觉它是偶函数，x≥0时，它是增函数，因此x＝0时函数取得最小值1，而当x＝±4时，函数值为16，故确定有0∈[a，b]，而4∈[a，b]或者－4∈[a，b]，从而有结论a＝－4时，0≤b≤4，b＝4时，－4≤a≤0，因此方程b＝g(a)的图形只能是B.
方法四 数形结合法(图解法)
在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观看分析，将数的问题(如解方程、解不等式、推断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．
例4 函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－2≤x≤4)的全部零点之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 由f(x)＝|x－1|＋2cos πx＝0，
得|x－1|＝－2cos πx，
令g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)，
h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)，
又由于g(x)＝|x－1|＝
在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图象(如图)，
由图象可知，函数g(x)＝|x－1|关于x＝1对称，
又x＝1也是函数h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的对称轴，
所以函数g(x)＝|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cos πx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，所以全部零点之和为6.
答案 C
思维升华 本题考查函数图象的应用，解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题，然后画出函数的图象找出零点再来求和．
严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时格外简便有效．运用图解法解题确定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较生疏．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．
过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A. B．－ C．± D．－
答案 B
解析 由y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．
由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排解A，C选项．当其斜率为－时，直线l的方程为x＋y－＝0，点O到其距离为＝>1，不符合题意，故排解D选项．选B.
方法五 估算法
由于选择题供应了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行精确 的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估量，便能作出正确的推断，这就是估算法．估算法往往可以削减运算量，但是加强了思维的层次．
例5 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B．1 C. D．2
解析 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．
阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故选C项．
答案 C
思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应当比△AOB的面积小且大于其面积的一半．
已知sin θ＝，cos θ＝(<θ<π)，则tan等于( )
A. B.
C. D．5
答案 D
解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值，再依据半角公式求tan，但运算较简洁，试依据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tan也为一确定的值，又<θ<π，因而<<，故tan>1.
1．解选择题的基本方法有直接法、排解法、特例法、估算法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要依据题干和选择支两方面的特点机敏运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地接受直接法．
2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应当从正反两个方向确定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳动．
3．作为平常训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并留意准时总结，这样才能有效地提高解选择题的力气．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
