2022届数学(文)江苏专用一轮复习-第2章第6讲对数与对数函数-Word版含答案.docx

其次章　函数、基本初等函数
第6 讲　对数与对数函数

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，给出下列等式：
①logab·logcb＝logca；②logab·logca＝logcb；③loga(bc)＝logab·logac；④loga(b＋c)＝logab＋logac.
其中恒成立的是________(填序号)．
解析　logab·logca＝logab·＝＝logcb，故②正确．
答案　②

答案　
3．(2022·陕西卷)已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.
解析　∵4a＝2，∴a＝log42＝，
∴lg x＝，∴x＝＝.
答案　
4．(2022·安徽卷改编)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系为________．
解析　由3＜7＜9得log33＜log37＜log39，∴1＜a＜2，由21.1＞21＝2得b＞2，由0.83.1＜0.80＝1得0＜c＜1，因此c＜a＜b.
答案　c＜a＜b
5．函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是________．
解析　由于a＞0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a＞1.又y＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3＞0，即a＞3，a的取值范围是(3，＋∞)．
答案　(3，＋∞)

解析　要使函数有意义，则3x－a＞0，即x＞，
∴＝，∴a＝2.
答案　2
7．(2022·扬州模拟)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则
①f(3)＜f(－2)＜f(1)；②f(1)＜f(－2)＜f(3)；
③f(－2)＜f(1)＜f(3)；④f(3)＜f(1)＜f(－2)．
其中正确的是________(填序号)．
解析　由于f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞1，f(1)＜f(2)＜f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)＜f(－2)＜f(3)．
答案　②
8．(2022·淄博一模)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________．
解析　由题意知y＝f(x)的图象如图所示，
则f(x)＞0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．

答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
二、解答题
9．已知函数f(x)＝lg，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)推断函数f(x)的奇偶性；
(3)推断函数f(x)的单调性．
解　(1)要使f(x)有意义，需满足＞0，
即或解得－1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)．设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝lg－lg＝lg＝lg.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＝(1＋x1)(1－x2)＞0，
∴＞1，∴lg＞0，
即f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
10．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解　由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．

力气提升题组
(建议用时：25分钟)
1．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝________.
解析　由f(x－2)＝f(x＋2)，得f(x)＝f(x＋4)，由于4＜log220＜5，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f＝
答案　－1
2．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是________．
解析　由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax，即当0＜x≤时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．
又当x＝时，，即函数y＝4x的图象过点，把点代入函数y＝logax，得a＝，若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需＜a＜1(如图所示)．

当a＞1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
答案　
3．(2021·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．
解析　由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，
又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，
故0＜－2＋＜.
答案　
4．已知函数f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2
＝log21＝0.∴f＋f＝0.
(2)f(x)的定义域为(－1,1)，
∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，
当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，
∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减，
∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.