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其次章 函数、基本初等函数
第8讲 函数与方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2022·青岛统一检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．
解析 由于函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内只有一个零点．
答案 1
2．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析 函数f(x)＝|x|－k的零点就是方程|x|＝k的根，在同一坐标系内作出函数y＝|x|，y＝k的图象，如图所示，可得实数k的取值范围是(0，＋∞)．
答案 (0，＋∞)
3．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点c＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
解析 令f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(2.5)＝5.625＞0，由于f(2)f(2.5)＜0，故下一个有根的区间是[2,2.5]．
答案 [2,2.5]
4．(2022·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.
答案 (－∞，－1)∪
5．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
解析 依据零点的意义，转化为函数y＝x分别和y＝－2x，y＝－ln x，y＝＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.
答案 x1＜x2＜x3
6．(2021·淄博期末)函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是________．
解析 函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图象的交点个数．
在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图象，如图，
由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2.
答案 2
7．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
解析 求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
答案 2
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
解析 画出f(x)＝的图象，如图．
由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．
答案 (0,1)
二、解答题
9．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
解 法一 (换元法)
设t＝2x (t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，
则解得－1<a≤2－2；
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
综上，a的取值范围是(－∞，2－2]．
法二 (分别变量法)
由方程，解得a＝－，设t＝2x (t>0)，
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
综上，a的取值范围是(－∞，2－2]．
10．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解 由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⇒
即－<m<－.
故m的取值范围是.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2022·合肥检测)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．
解析 当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．
∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.
综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
答案 0或－
2．(2022·南通模拟)已知方程|x2－a|－x＋2＝0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析 依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图，则＞2，即a＞4.
答案 (4，＋∞)
3．(2022·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝|x2－2x＋|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)＝，x∈[0,3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(1)＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3,4]上有10个零点，即函数y＝f(x)和图象与直线y＝a在[－3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0,3)应当有4个交点，则有a∈.
答案
4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．
解 (1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋－＝.
令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化状况如下：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
极大值
↘
微小值
↗
当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.
又由于g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点.
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