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课时提升作业(三十三)
一、选择题
1.（2021·茂名模拟）已知等差数列{an}的公差d≠0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数.若a1=d,b1=d2，且是正整数，则q等于( )
2.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )
(A)90 (B)100 (C)145 (D)190
3.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
4.2022年6月16日18时37分“神九”顺当升空，若运载“神九”的改进型长征二号F遥九火箭在点火后某秒钟通过的路程为2 km，此后每秒钟通过的路程增加2 km，若从这一秒钟起通过240 km的高度，火箭与飞船分别，则这一过程需要的时间是( )
(A)10秒钟 (B)13秒钟
(C)15秒钟 (D)20秒钟
5.已知数列{an}为等差数列，若＜-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＜0的n的最小值为( )
(A)11 (B)19 (C)20 (D)21
6.（2021·河源模拟）已知a>0,b>0,a,b的等差中项是，且x=a+,y=b+，则x+y的最小值是( )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
7.（力气挑战题）甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小，则有( )
(A)甲的产值小于乙的产值
(B)甲的产值等于乙的产值
(C)甲的产值大于乙的产值
(D)不能确定
二、填空题
8.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{}的前n项和Sn等于_______.
9.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此连续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
10.（力气挑战题）数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上，n∈N*，若数列{an}是等比数列，则实数t=_______.
11.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足=ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，，若有穷数列{}（n∈N*）的前n项和等于，则n=_____.
三、解答题
12.(2021·珠海模拟）设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c(n∈N*)，其中a,c为实数，且c≠0.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）设a=,c=,bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
13.（2022·安徽高考）设函数f(x)= +sin x的全部正的微小值点从小到大排成的数列为{xn}.
（1）求数列{xn}的通项公式.
（2）设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn．
14.（2021·佛山模拟）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn,求证：-≤Tn<-1(n∈N*).
答案解析
1.【解析】选C.
∴
由∈Z，结合选项易知q=.
2.【解析】选B.设公差为d，则(1+d)2=1·(1+4d).
∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.
3.【解析】选B.由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35，由a2+a4+a6=99得3a4=99即a4=33，
∴d=-2，an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n，
由得n=20.
4.【解析】选C.设从这一秒钟起，经过x秒钟，通过240 km的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x+×2=240,
即x2+x-240=0.解得x=15或x=-16（舍去）.
5.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“＜-1”及“Sn有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出访得Sn＜0的n的最小值，或者依据等差数列的性质求解.
【解析】选C.方法一：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由
∵Sn=
由Sn=0得n=0或n=1-
∵19＜1-＜20,
∴Sn＜0的解集为{n∈N*|n＞1-}
故使得Sn＜0的n的最小值为20.
方法二：由题意知d＜0,a10＞0,a11＜0,a10+a11＜0,
由a10＞0知S19＞0,由a11＜0知S21＜0,
由a10+a11＜0知S20＜0,故选C.
6.【解析】选B.依题意:a+b=1,
x+y=a+b++=1+≥1+
=1+4=5.
故选B.
7.【解析】选C．设甲各个月份的产值为数列{an}，乙各个月份的产值为数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=b1,a11=b11，故a6=由于在等差数列{an}中的公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6>b6，即6月份甲的产值大于乙的产值．
8.【解析】∵y′=nxn-1-(n+1)xn,
∴y′|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)·2n，即an=(n+1)·2n,
∴=2n,∴Sn=2n+1-2.
答案：2n+1-2
9.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=，设操作n次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为an,
则an+1=an·,
∴an=a1qn-1=()n,∴()n<，得n≥4．
答案：4
【方法技巧】数列建模问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最终通过建立的关系求出相关量.
10.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的方程，降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的方程，两个方程相减后得出an+1,an的关系，可得数列{an}中，a2,a3,a4,…为等比数列，只要等于上面数列的公比即可．
【解析】由题意得an+1=2Sn+1,
an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2an，
即an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时，{an}是等比数列，
要使n≥1时，{an}是等比数列，则只需
=3，从而t=1．
答案：1
11.【解析】令h(x)= ，则h′(x)=<0，故函数h(x)为减函数，即0<a<1．
再依据，得a+，解得a=2（舍去）或者a=.则，数列{}的前n项和是
所以n=5．
答案：5
12.【解析】(1)∵an+1=can+1-c,
即an+1-1=c(an-1),
∴当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列，
∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1；
当a=1时，an=1仍满足上式.
∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1(n∈N*).
(2)由（1）得,当a=,c=时，
bn=n(1-an)=n{1-［1-()n］}=n()n.
∴Sn=b1+b2+…+bn=+2×()2+3×()3+…+n×()n，
Sn=()2+2×()3+…+n×()n+1，
两式作差得Sn=+()2+…+()n-n×()n+1，
Sn=1++()2+…+()n-1-n×()n
∴Sn=
13.【思路点拨】（1）依据导数，xn的左侧导函数小于0，xn的右侧导函数大于0，求出微小值点.（2）由（1）求出{xn}的前n项和为Sn，再代入sin Sn求解.
【解析】(1)f(x)= +sin x,令f′(x)= +cos x=0,得x=2kπ±(k∈Z),
f′(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+ (k∈Z),
f′(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+ (k∈Z),
当x=2kπ-(k∈Z)时，f(x)取微小值,
xn=2nπ-(n∈N*).
（2）由（1）得：xn=2nπ-,
Sn=x1+x2+x3+…+xn
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
当n=3k(k∈N*)时，sin Sn=sin(-2kπ)=0,
当n=3k-1(k∈N*)时，sin Sn=
当n=3k-2(k∈N*)时，sin Sn=.
所以sin Sn=
14.【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),由已知得：
(2)∵
∴Tn<Tn+1(n≥2),
而T1>T2,所以T2最小,
又T2=-，所以Tn≥-,
综上所述，-≤Tn<-1(n∈N*).
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