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课时提升作业(六十八)
一、选择题
1.(2021·深圳模拟)把标有号码1,2,3,…,10的10个乒乓球放在一个箱子中,摇匀后,从中任意取一个,号码为小于7的奇数的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
2.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
3.甲和乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲和乙不在同一岗位服务的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.(2021·长沙模拟)将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,毁灭“正面对上的点数为3的倍数”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
5.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为大事Cn(2≤n≤5,n∈N),若大事Cn的概率最大,则n的全部可能值为( )
(A)3 (B)4 (C)2和5 (D)3和4
6.把一枚骰子投掷两次,观看毁灭的点数,并记第一次毁灭的点数为m,其次次毁灭的点数为n,向量p=(m,n),q=(-2,1),则p⊥q的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
7.(力气挑战题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=30°,若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所得的点数分别为a,b,则满足条件的三角形有两个解的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
8.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到图书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
9.(2021·温州模拟)1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,则从2号箱取出红球的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.有3个爱好小组,甲、乙两位同学各自参与其中一个小组,每位同学参与各个小组的可能性相同,则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
11.(2021·嘉峪关模拟)甲、乙两人玩猜数字玩耍,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个玩耍,则他们“心有灵犀”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
12.(2021·台州模拟)从集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,随机取出4个数组成子集,使得这4个数中的任何两个数之和不等于1,则取出这样的子集的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
13.(2021·南京模拟)在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为 .
14.一个质地均匀的正四周体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .
15.(力气挑战题)某人有甲、乙两个电子密码箱,欲存放A,B,C三份不同的重要文件,则两个密码箱都不空的概率是 .
16.(力气挑战题)把一颗骰子抛掷两次,观看毁灭的点数,并记第一次毁灭的点数为a,其次次毁灭的点数为b,组成方程组则(1)在毁灭点数有2的状况下,方程组只有一个解的概率为 .(2)只有正数解的概率为 .
三、解答题
17.(力气挑战题)为了提高食品的平安度,某食品安检部门调查了一个海水养殖场的养殖鱼的有关状况,安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:kg),并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长速度(1.0～1.2 kg/年)的比例超过15%,则认为所饲养的鱼有问题,否则认为所饲养的鱼没有问题.
鱼的
质量
[1.00,
1.05)
[1.05,
1.10)
[1.10,
1.15)
[1.15,
1.20)
[1.20,
1.25)
[1.25,
1.30)
鱼的
条数
3
20
35
31
9
2
(1)依据数据统计表,估量数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少,并推断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题?
(2)上面捕捞的100条鱼中间,从质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)的鱼中,任取2条鱼来检测,求恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率.
答案解析
1.【解析】选A.由于共有10种等可能的结果.而号码小于7的奇数有1,3,5共3种.
所以抽到号码小于7的奇数的概率是.
2.【解析】选C.正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个等可能的基本大事.两条直线相互垂直的状况有5种(4组邻边和对角线),包括10个基本大事,所以概率等于.
3.【思路点拨】可用间接法求出甲和乙不在同一岗位服务的排法种数.
【解析】选C.每个岗位支配志愿者的方法共有:=240,甲和乙不在同一岗位服务的方法共有:-=216.所以,甲和乙不在同一岗位服务的概率为:=.
4.【解析】选B.∵抛一枚骰子,结果有6个不同的大事,而“正面对上的点数为3的倍数”的大事有2个,
∴所求概率为=.
5.【解析】选D.大事Cn的总大事数为6.只要求出当n=2,3,4,5时的基本大事个数即可.
当n=2时,落在直线x+y=2上的点为(1,1);
当n=3时,落在直线x+y=3上的点为(1,2),(2,1);
当n=4时,落在直线x+y=4上的点为(1,3),(2,2);
当n=5时,落在直线x+y=5上的点为(2,3),
明显当n=3,4时,大事Cn的概率最大,均为.
6.【解析】选B.∵p⊥q,∴p·q=-2m+n=0.
∴n=2m,满足条件的(m,n)有3个,分别为(1,2),(2,4),(3,6),而(m,n)的全部状况共有36个,
故所求概率P==.
7.【思路点拨】先利用三角形有两解的条件求出a,b的范围,进而求出基本大事的个数,从而得出有两组解的全部大事及个数,利用古典概型即可求解.
【解析】选A.要使△ABC有两个解,需满足的条件是
由于A=30°,所以满足此条件的a,b的值有b=3,a=2;b=4,a=3;b=5,a=3;
b=5,a=4;b=6,a=4;b=6,a=5,共6种状况,所以满足条件的三角形有两个解的概率是=.
8.【思路点拨】古典概型基本问题,可从反面来考虑.
【解析】选B.基本大事总数为=120,同一科目中有相邻状况的有+-=72种,故同一科目的书都不相邻的概率是=.
9.【解析】选A.所求概率P=·+·=+==.
10.【解析】选A.记三个爱好小组分别为1,2,3,甲参与1组记为“甲1”,则基本大事为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.
记大事A为“甲、乙两位同学参与同一个爱好小组”,其中大事A有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个.因此P(A)==.
11.【解析】选D.甲、乙两人玩玩耍,其中a,b构成的基本大事共有6×6=36(组).对于“心有灵犀”的数组,若a=1或6,则b分别有1,2或5,6共4组;若a=2,3,4,5,则每个a有相应的3个数,因此“心有灵犀”的数组共有4+3×4=16(组).
∴“心有灵犀”的概率为=.
12.【解析】选B.∵从集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,随机取出4个数组成子集共有=35个,而这四个数中任取两个数之和不等于1的取法有:0与1,-1与2,-2与3,不能同时取,-3必入选,共有··=8个.
∴符合条件的概率为.
13.【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x2+y2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.
答案:
14.【解析】应用列举法共有16种等可能状况:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种状况,所以所求概率为.
答案:
15.【解析】A,B,C三份文件放入甲、乙两个密码箱,全部的结果如下表所示:
甲密
码箱
A,B,C
A,B
A
A,C
B,C
B
C
空
乙密
码箱
空
C
B,C
B
A
A,C
A,B
A,B,C
共有8种不同的结果,其中两个密码箱都不空(记为大事A)的结果共有6种,所以P(A)==.
答案:
16.【解析】(1)方程组无解⇔a=2b(因该方程组不会毁灭很多组解的状况).
又由于毁灭点数有2的状况共有11种,
而当a=2,b=1;a=4,b=2时,方程组无解,
所以毁灭点数有2的状况下,方程组只有一个解的概率P1=1-=.
(2)如图,由图得
或
即或
当a=1,2时,b=2,3,4,5,6;
当b=1时,a=4,5,6,
所以方程组只有正数解的概率P2==.
答案:(1) (2)
17.【解析】(1)捕捞的100条鱼中间,数据落在[1.20,1.25)的概率约为P1==0.09;
数据落在[1.25,1.30)的概率约为P2==0.02;
所以数据落在[1.20,1.30)中的概率约为P=P1+P2=0.11.
由于0.11×100%=11%<15%,
故饲养的这批鱼没有问题.
(2)质量在[1.00,1.05)的鱼有3条,把这3条鱼分别记作A1,A2,A3,
质量在[1.25,1.30)的鱼有2条,分别记作B1,B2,那么全部的可能结果有:
{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},
{A2,B1}{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种,
而恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条有:{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共6种,所以恰好所取得的鱼的质量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率为=.
【变式备选】如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处,今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,同时以每10分钟一格的速度分别向N,M处行走,直到到达N,M为止.
(1)求甲经过A2的概率.8
(2)求甲、乙两人相遇经A2点的概率.
(3)求甲、乙两人相遇的概率.
【解析】(1)甲经过A2到达N,可分为两步:第一步:甲从M经过A2的方法数:种;其次步:甲从A2到N的方法数:种,所以甲经过A2的方法数为()2,所以甲经过A2的概率P==.
(2)由(1)知:甲经过A2的方法数为:()2;乙经过A2的方法数也为:()2;所以甲、乙两人相遇经A2点的方法数为:()4=81;
甲、乙两人相遇经A2点的概率P==.
(3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在A1,A2,A3,A4处相遇,他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有()4种方法;所以:()4+()4+()4+()4=164,
甲、乙两人相遇的概率为:=.
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