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课时提升作业(六十九)
一、选择题
1.已知三棱锥S -ABC,在三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
2.(2021·昆明模拟)记集合A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合B={(x,y)|x+y-4≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
3.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
4.已知P是△ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
5.(2021·龙岩模拟)若a,b在区间[0,]上取值,则函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的概率是( )
(A) (B) (C) (D)1-
6.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )
(A) (B)1-
(C) (D)1-
8.(2021·海淀模拟)如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果,其中一个数字被污损,则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
9.(2021·合肥模拟)扇形AOB的半径为1,圆心角为90°.点C,D,E将弧AB等分成四份.连接OC,OD,OE,从图中全部的扇形中随机取出一个,面积恰为的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)已知k∈(-1,2],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0相切的概率等于( )
(A) (B) (C) (D)不确定
二、填空题
11.(2021·徐州模拟)若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为 .
12.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为 .
13.(2021·东莞模拟)若不等式组表示的平面区域为M,x2+y2≤1所表示的平面区域为N,现随机向区域M内抛一粒豆子,则豆子落在区域N内的概率为 .
14.(2022·陕西高考改编)如图所示是用模拟方法估量圆周率π值的程序框图,P表示估量结果,则图中空白框内应填入 .
三、解答题
15.(力气挑战题)设函数f(x)=x2+bx+c,其中b,c是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求大事A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率.
(1)若随机数b,c∈{1,2,3,4}.
(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1},b,c是算法语句b=4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果.(注:符号“*”表示“乘号”)
答案解析
1. 【解析】选A.如图,当VP-ABC=VS-ABC时,有S△ABC·PO=×S△ABC·SO,∴PO=SO,即P为SO的中点,即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求,可计算=,由几何概型知,P=1-=.
2.【解析】选A.如图,区域Ω1为圆心在原点,半径为4的圆,区域Ω2为等腰直角三角形,腰长为4,所以P===.
3.【解析】选A.∵硬币的半径为r,∴当硬币的中心到直线的距离d>r时,硬币与直线不相碰,∴P==.
4.【解析】选D.由题意可知,点P位于BC边的中线的中点处.记黄豆落在△PBC内为大事D,则P(D)==.
5.【思路点拨】f(x)在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0.
【解析】选C.易得f′(x)=3ax2+2bx+a,函数f(x)=ax3+bx2+ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0,即a≠0且4b2-12a2>0.又a,b在区间[0,]上取值,则a>0,b>a,满足点(a,b)的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的面积为3,阴影部分的面积为,故所求的概率是.
6. 【解析】选A.设这两个实数分别为x,y,则满足x+y>的部分如图中阴影部分所示.所以这两个实数的和大于的概率为1-××=.
7.【解析】选B.正方体的体积为:2×2×2=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为:×πr3=××13=,则点P到点O的距离小于或等于1的概率为=,故点P到点O的距离大于1的概率为1-.
8.【解析】选C.记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成果是(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的5次综合测评的平均成果是(80×3+90×2+3+3+7+x+9)=(442+x).令90>(442+x),由此解得x<8,即x的可能取值是0～7,因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为=,选C.
9.【解析】选A.依题意得知,图中共有10个不同的扇形,分别为扇形AOB,AOC,AOD,AOE,EOB,EOC,EOD,DOC,DOB,COB,其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD,EOC,BOD),因此所求的概率等于,选A.
10.【解析】选B.∵圆的方程可化为(x+)2+(y-1)2=++1,∴5k+k2+4>0,∴k<-4或k>-1.
∵过A(1,1)可以作两条直线与圆(x+)2+(y-1)2=++1相切,
∴A(1,1)在圆外,得(1+)2+(1-1)2>++1,
∴k<0,故k∈(-1,0),其区间长度为1,由于k∈(-1,2],其区间长度为3,所以P=.
11.【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为(,0),(0,),又当m∈(0,3)时,>0,>0,
∴··<,解得0<m<2,
∴P==.
答案:
12. 【解析】如图,在[-5,5]上函数的图象与x轴交于两点(-1,0),(2,0),而x0∈[-1,2],f(x0)≤0.
所以P===0.3.
答案:0.3
13. 【解析】如图所示M,N区域:
μ(M)==.
μ(M∩N)=π·12=.
P===.
答案:
14.【解析】∵xi,yi为0～1之间的随机数,构成以1为边长的正方形面.当+≤1时,点(xi,yi)均落在以原点为圆心,以1为半径且在第一象限的圆内(如图阴影所示).
由程序框图知,落在阴影区域内的点共M个.
又S正方形=1,S阴影=π.
依据几何概型==π,
∴π=,因此估量结果P=.
答案:P=
15.【解析】由f(x)=x2+bx+c知,大事A“f(1)≤5且f(0)≤3”,即
(1)由于随机数b,c∈{1,2,3,4},所以共等可能地产生16个数对(b,c),
列举如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
大事A:包含了其中6个数对(b,c),即:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),
(2,2),(3,1).
所以P(A)==,即大事A发生的概率为.
(2)由题意,b,c均是区间[0,4]中的随机数,产生的点(b,c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图),其面积S(Ω)=16.
大事A:所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分),
其面积为:S(A)=×(1+4)×3=,
所以P(A)===,
即大事A发生的概率为.
【变式备选】已知复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},从集合P中随机取一个数作为x,从集合Q中随机取一个数作为y,求复数z为纯虚数的概率.
(2)设x∈[0,3],y∈[0,4],求点M落在不等式组:所表示的平面区域内的概率.
【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为大事A.
∵组成复数z的全部状况共有12个:-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,
-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每种状况毁灭的可能性相等,属于古典概型,其中大事A包含的基本大事共2个:i,2i,∴所求大事的概率为P(A)==.
(2)依条件可知,点M均匀地分布在平面区域{(x,y)|}内,属于几何概型,该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域,面积为S=3×4=12.
而所求大事构成的平面区域为{(x,y)|
},
其图形为如图中的三角形OAD(阴影部分).
又直线x+2y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),D(0,),
∴三角形OAD的面积为S1=×3×=,
∴所求大事的概率为P===.
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