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课时提升作业(十三)
一、选择题
1.函数y=cos(2x+1)的导数是 ( )
(A)y′=sin(2x+1) (B)y′=-2xsin(2x+1)
(C)y′=-2sin(2x+1) (D)y′=2xsin(2x+1)
2.(2021·茂名模拟)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面
积为 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.(2021·阳江模拟)已知f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于 ( )
(A)e2 (B)e (C) (D)ln2
4.(2021·肇庆模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 ( )
(A)2 (B)- (C)4 (D)-
5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为 ( )
(A)2 (B)- (C)3 (D)-
6.(2021·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于 ( )
(A)-1或- (B)-1或
(C)-或- (D)-或7
二、填空题
7.如图,函数F(x)=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= .
8.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为 .
9.(力气挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
10.求下列各函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).
(2)y=+.
(3)y=e-xsin2x.
11.已知曲线y=x3+,
(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
(2)求曲线的斜率为4的切线方程.
12.(力气挑战题)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.
答案解析
1.【解析】选C. y′=-sin(2x+1)·(2x+1)′=-2sin(2x+1).
2.【解析】选A.y′=x2+1,曲线在点(1,)处的切线斜率k=12+1=2,
故曲线在点(1,)处的切线方程为y-=2(x-1).
该切线与两坐标轴的交点分别是(,0),(0,-).
故所求三角形的面积是:××=.
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
3.【解析】选B.由于f′(x)=lnx+x·=lnx+1,所以f′(x0)=lnx0+1,由lnx0+1=2得x0=e.
4.【解析】选C.由于曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以
g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.
5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),
∴导函数f′(x)的图象开口向上.
又∵a≠0,∴其图象必为(3).
由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,
∴a=-1,故f(-1)=-.
6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.
【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),
即y=3x-2.又(1,0)在切线上,
则x0=0或x0=,
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,解得a=-,
同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
7.【解析】F′(x)=f′(x)+x,
由题意可知F′(5)=f′(5)+2=-1,
∴f′(5)=-3.
又点(5,3)在F(x)的图象上,∴f(5)+5=3,
∴f(5)=-2,∴f(5)+f′(5)=-5.
答案:-5
8.【解析】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],∴0≤f′(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,
∴-≤x0≤,∴0≤x0+≤,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,].
答案:[0,]
9.【思路点拨】求出导函数,依据导函数有零点,求a的取值范围.
【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.由于存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.
方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.
当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).
方法二(分别变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,明显可得a=-∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=+=,
∴y′=()′==.
(3)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2
=e-x(2cos2x-sin2x).
11.【解析】(1)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0,+),则切线的斜率k=y′=,
∴切线方程为y-(+)=(x-x0),即y=·x-+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2-+,即-3+4=0,∴+-4+4=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(2)设切点为(x0,y0),
则切线的斜率为k==4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13,
∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴或∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
12.【解析】(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,
即3a-6-6a=0,∴a=-2.
(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9),直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3+6x0+12),
∵g′(x0)=6x0+6,
∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,
当x0=-1时,切线方程为y=9;
当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,
即有x=-1或x=2,
当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;
当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.
∴公切线是y=9.
又令f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,
∴x=0或x=1.
当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;
当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,
∴公切线不是y=12x+9.
综上所述公切线是y=9,此时k=0.
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