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课时提升作业(九)
一、选择题
1.已知幂函数y=f(x)通过点(2,2),则幂函数的解析式为 ( )
(A)y=2 (B)y=
(C)y= (D)y=
2.(2021·潮州模拟)若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()= ( )
(A)3 (B)-3 (C) (D)-
3.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是
( )
(A)[1,+∞) (B)[0,2]
(C)[1,2] (D)(-∞,2]
4.(2021·湛江模拟)若f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则f(m+1)的值是 ( )
(A)正数 (B)负数
(C)非负数 (D)不能确定正负
5.已知P=,Q=()3,R=()3,则P,Q,R的大小关系是 ( )
(A)P<Q<R
(B)Q<R<P
(C)Q<P<R
(D)R<Q<P
6.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是
( )
(A)[-3,0) (B)(-∞,-3]
(C)[-2,0] (D)[-3,0]
8.(2021·佛山模拟)设函数f(x)=x2+(2a-1)x+4.若x1<x2,x1+x2=0时,有f(x1)>f(x2),则实数a的取值范围是 ( )
(A)a> (B)a≥
(C)a< (D)a≤
9.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 ( )
(A)8 (B)6
(C)4 (D)2
10.(力气挑战题)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]恒成立,则a的最小值是 ( )
(A)0 (B)2 (C)- (D)-3
二、填空题
11.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是 .
12.若二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
13.(2021·天津模拟)若关于x的不等式x2+x-()n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实常数λ的取值范围是 .
14.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任意x恒有f(2+x)=f(2-x),若f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则x的取值范围是 .
三、解答题
15.(力气挑战题)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.
(1)求证:-2<<-1.
(2)若x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.设y=xα,则由已知得,2=2α,
即=2α,∴α=,∴f(x)=.
2.【解析】选C.设f(x)=xn,则==2n=3.
∴f()=()n==.
3.【解析】选C.y=(x-1)2+2,由x2-2x+3=3得x=0或x=2,∴1≤m≤2,故选C.
4.【解析】选B.f(x)=(x-)2+a-,其对称轴为x=,而-m,m+1关于对称,
故f(m+1)=f(-m)<0,故选B.
5.【解析】选B.由函数y=x3在R上是增函数知,
()3<()3,
由函数y=2x在R上是增函数知,>2-3=()3,
∴P>R>Q.
6.【解析】选D.对于选项A,C,都有∴abc<0,故排解A,C.对于选项B,D,都有->0,即ab<0,则当c<0时,abc>0,故选D.
7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1明显成立,
当a≠0时,需解得-3≤a<0,
综上可得-3≤a≤0.
【误区警示】本题易忽视a=0这一状况而误选A,失误的缘由是将关于x的函数误认为是二次函数.
8.【解析】选C.由题意知函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x0=.当x0≤x1时,y=f(x)在(x1,x2)上递增,此时f(x1)<f(x2),不合题意;当x1<x0<x2时,要使f(x1)>f(x2),则x1离对称轴远,故x0-x1>x2-x0,即2x0>x1+x2,又x1+x2=0得x0>0,故0<x0<x2;当x0≥x2时,y=f(x)在(x1,x2)上递减,此时f(x1)>f(x2).综上可得x0>0,即1-2a>0,
得a<.
9.【思路点拨】对于函数f(x)=x2+1而言,当x=±2时,y=5,从而结合题意得出a,b的取值范围,点(a,b)的运动轨迹是两条线段,与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形,从而得出结果.
【解析】选C.如图,对于函数f(x)=x2+1,当x=±2时,y=5.
故依据题意得a,b的取值范围为:-2≤a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2.
∴点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形,面积为4.
10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,
∵x∈(0,],∴g(a)为单调递增函数.
当x=时满足:a++1≥0即可,
解得a≥-.
方法二:由x2+ax+1≥0得a≥-(x+)在x∈(0,]上恒成立,
令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0,]为增函数,
∴g(x)max=g()=-,∴a≥-.
11.【解析】设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,
当x=1时,ymax=-9a=9,∴a=-1,
∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.
答案:y=-x2+2x+8
12.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-∞,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.
【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称.
∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).
∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],
∴2a2=4,f(x)=-2x2+4.
答案:-2x2+4
13.【解析】∵n∈N*时,()n≤,
∴x2+x≥在x∈(-∞,λ]上恒成立,
又x2+x=(x+)2-,
∴解得λ≤-1.
答案:(-∞,-1]
14.【思路点拨】由题意知二次函数的图象开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.
【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远,函数值越大,
∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,
即|2x2+1|<|x2-2x+1|,
∴2x2+1<x2-2x+1,
∴-2<x<0.
答案:(-2,0)
15.【解析】(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又b+c=0,
则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c2<0与已知冲突.
因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)
=-(a+b)(2a+b)>0,
即(+1)(+2)<0,从而-2<<-1.
(2)x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,
则x1+x2=-,x1x2=-,
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(-)2+4×=·()2+·+
=(+)2+.
∵-2<<-1,
∴≤(x1-x2)2<,
∴≤|x1-x2|<.
即|x1-x2|的取值范围是[,).
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