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课时提升作业(五十九)
一、选择题
1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )
(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-
2.(2021·郑州模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
(A)[-,] (B)[-2,2]
(C)[-1,1] (D)[-4,4]
3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)2
4.(2021·邢台模拟)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
5.(2021·汕头模拟)过双曲线=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为( )
(A)(,5) (B)(,)
(C)(1,) (D)(5,5)
6.(力气挑战题)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1
二、填空题
7.(2021·重庆模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值范围为 .
8.(2021·长春模拟)设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为 .
9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为 .
三、解答题
10.(2021·深圳模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1).直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.
(1)若|AB|=,求k的值.
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
11.(2021·银川模拟)直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?假如是,请赐予证明;假如不是,请说明理由.
12.(力气挑战题)已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A,B.曲线C是以A,B两点为顶点,离心率为的双曲线.设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T.
(1)求曲线C的方程.
(2)设P,T两点的横坐标分别为x1,x2,证明:x1·x2=1.
(3)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2,且·≤15,求-的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.
【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧
解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探究其值即可.
2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.
3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,
∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.
∴a≥.∴长轴的最小值为2.
4.【解析】选C,设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),
∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3
=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],
∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.
5.【思路点拨】结合图象探究e满足的关系即可.
【解析】选B.由题意结合双曲线的图象可知渐近线的斜率k满足2<k<3,所以4<k2<9⇒4<e2-1<9⇒<e<.
6.【思路点拨】画出图象,通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,依据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.
【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,
∴d1=|PF|-1,
d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.
∴(d1+d2)min=-1.
7.【解析】由题意知:B(c,),
∴k===1-e.
又<k<,∴<1-e<,解得<e<.
答案:(,)
8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.
【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·
2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),
∴=≤(当且仅当a=b时取等号).
答案:
9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,
由=2px1,=2px0,得kPA==,
同理kPB=,
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),
那么=-2.
答案:-2
10.【解析】(1)由题意知=,b=1,
∴a=,
∴椭圆的方程为+y2=1.
由得(2k2+1)x2-kx-=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=,x1x2=-.
∴|AB|=·|x1-x2|=·==,
化简得23k4-13k2-10=0,
即(k2-1)(23k2+10)=0,
解得k2=1,∴k=±1.
(2)∵=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
∴·=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=--+
=0.
∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过M点.
11.【解析】(1)∵∴a=2,b=1,
∴椭圆的方程为+x2=1.
(2)①当直线AB斜率不存在时,
即x1=x2,y1=-y2,
由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,
又A(x1,y1)在椭圆上,所以+=1⇒|x1|=,|y1|=,
S△AOB=|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,
由⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必需Δ>0,
即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,
得到x1+x2=,x1x2=,
∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0⇔4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,
S=×|AB|=|t|===1,
所以三角形的面积为定值.
12.【解析】(1)依题意可得A(-1,0),B(1,0).
设双曲线C的方程为x2-=1(b>0),
由于双曲线的离心率为,
所以=,即b=2.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设点P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0)(易知k存在),
则直线AP的方程为y=k(x+1),
联立方程组
整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,
解得x=-1或x=,所以x2=.
同理可得x1=.
所以x1·x2=1.
(3)由(2)得
=(-1-x1,-y1),=(1-x1,-y1).
由于·≤15,所以(-1-x1)(1-x1)+≤15,即+≤16.
由于点P在双曲线上,则-=1,所以+4-4≤16,即≤4.
由于点P是双曲线在第一象限内的一点,
所以1<x1≤2.
由于S1=|AB||y2|=|y2|,
S2=|OB||y1|=|y1|,
所以-=-=(4-4)-(-1)=5--4.
由(2)知x1·x2=1,即x2=.
设t=,则1<t≤4,
-=5-t-.
设f(t)=5-t-,
则f′(t)=-1+=,
当1<t<2时,f′(t)>0,
当2<t≤4时,f′(t)<0,
所以函数f(t)在(1,2)上单调递增,在(2,4]上单调递减.
由于f(2)=1,f(1)=f(4)=0,∴f(t)max=f(2)=1,
f(t)min=f(4)=0,
所以当t=4,即x1=2时,(-)min=f(4)=0.
当t=2时,即x1=时,(-)max=f(2)=1.
所以-的取值范围为[0,1].
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