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课时提升作业(三十八)
一、选择题
1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
(A)a<b<<
(B)a<<<b
(C)a<<b<
(D)<a<<b
2.(2021·福州模拟)若x>0,则x+的最小值是( )
(A)2 (B)4 (C) (D)2
3.(2022·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的( )
(A)充分条件但不是必要条件
(B)必要条件但不是充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要的条件
4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=( )
(A)20 (B)10 (C)16 (D)8
5.(2021·济宁模拟)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值
为( )
(A) (B) (C)2 (D)4
6.(2022·陕西高考)小王从甲地到乙地来回的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
(A)a<v< (B)v=
(C)<v< (D)v=
7.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是( )
(A)(+) (B)
(C) (D)
8.已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
9.(2021·汕头模拟)设a>0,若关于x的不等式x+≥5在x∈(1,+∞)恒成立,则a的最小值为( )
(A)16 (B)9 (C)4 (D)2
10.(力气挑战题)若a>0,b>0,且a+b=1,则ab+的最小值为( )
(A)2 (B)4 (C) (D)2
二、填空题
11.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为 .
12.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是 .
13.设x≥0,则函数y=的最小值为 .
14.若当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是 .
三、解答题
15.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,(1)求x2+y2的取值范围.(2)求证:xy≤2.
16.(力气挑战题)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本,并方案以后每年比上一年多投入100万元科技成本.估量产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.
(1)求出f(n)的表达式.
(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
答案解析
1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,
则=2,=,
∴a<<<b.
方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,
∴<b,∴a<<<b.
【变式备选】下列结论中正确的是( )
(A)若3a+3b≥2,则必有a>0,b>0
(B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0
(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则+≤1
(D)若ab>0,则≥
【解析】选D.当a,b∈R时,确定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A错.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以≤=,而当a<0,b<0时,明显有>,所以当ab>0时,确定有≥,故D正确.
2.【解析】选D.由基本不等式可得x+≥2=2,当且仅当x=即x=时取等号,故最小值是2.
3. 【解析】选A.由于++=≤=.可知当abc=1时,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足++≤a+b+c,但abc=1不成立.
4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,故一年的总运费与总存储费用之和为(·4+4x)万元.
而·4+4x≥2=160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.
5.【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥2,所以0<ab≤2,故≥,即的最小值为,当且仅当a=1,b=2时取等号.
6.【解析】选A.设甲乙两地的路程为s,则来回时间分别是t1=,t2=,所以平均速度是v===,由于a<b,所以>a,
<,即a<v<.
7. 【解析】选A.取x=1,y=2,可得(+)=,=,=,=,因此最大的是(+),故选A.
8. 【解析】选C.由已知可得+=·(+)=+++2≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号,即+的最小值是.
9.【解析】选C.由x∈(1,+∞),得x-1>0,
∴x-1+≥2,当且仅当x-1=,即x=1+时,等号成立,则2≥4,即a≥4,故选C.
10.【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.
【解析】选C.由a+b=1,a>0,b>0得
2≤a+b=1,∴≤,∴ab≤.
令ab=t,则0<t≤,
则ab+=t+,结合函数的图象可知t+在(0,]上单调递减,故当t=时,t+有最小值为+4=.
11.【解析】由基本不等式可得x+4y≥2=4,于是4≤4,xy≤1,当且仅当x=2,y=时取等号,故xy的最大值为1.
答案:1
12.【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.
答案:2
13.【解析】y==
==x+1++5,而x≥0,所以由基本不等式可得x+1+≥2=4,当且仅当x=1时取等号,故函数的最小值等于9.
答案:9
14.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值,可将其分子依据分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.
【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,
解得-<m<.
答案:-<m<
15.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0,即(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,由于x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.
(2)由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2.
16.【解析】(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元.
所以,年利润为f(n)=(10+n)(100-)-100n(n∈N*).
(2)由(1)知f(n)=(10+n)(100-)-100n
=1000-80(+)≤520(万元).
当且仅当=,
即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.
所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.
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