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2021-2022学年第一学期龙海二中期末考高三数学(理科)试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：龙海二中 吴志坚
参考公式：
球的表面积公式，其中R表示球的半径.
球的体积公式,其中R表示球的半径.
一、选择题（每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ ）
A.A⊊B B.B⊊A C. A=B D. A∩B=∅
2．在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．的值等于（ ）
A. B. C. D.
5. 等差数列中,,则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 若x、y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
7. 若是正数，且，则有（ ）
A.最大值16 B．最小值 C．最小值16 D．最大值
8. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A．若,则 B．若,,,则
C．若,则 D．若,则
9. 若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有 ( )
A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点
10. 已知为偶函数，且,若 ，则 （ ） A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知，若，则 .
12．函数在时取得极值，则实数_______ .
13．已知｜｜＝1，｜｜＝，且，的夹角为，则｜－｜的值为 .
14．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于 .
15．观看下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 .
三、解答题。(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
16.（本题满分13分）如图是一个几何体的三视图，依据图中数据，求该几何体的表面积和体积．
17.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
18.（本题满分13分）已知数列是一个等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和．
19.（本题满分13分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，,是的中点．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）已知.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，假如多做，则按所做的前两题计分。
（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换
若点A（２，２）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵.
（2）（本小题7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.
（3）(本小题7分)选修4－5：不等式选讲.
解不等式 .
2021-2022学年第一学期龙海二中期末考
高三数学（理科）试题参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
B
A
C
C
B
D
二、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)
11． 2 ; 12. -2; 13．1; 14． ; 15．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(本题满分13分)
解: 由三视图可知此几何体是半径为2的半球．………………………………3分
∴ S＝×4πR2＋πR2＝12π，…………………………………………8分
V＝πR3×＝π. …………………………………………13分
17.(本题满分13分)
解: （Ⅰ）， ……………………………4分
则函数的最小正周期是. ……………………………………………6分
函数的值域是. ………………………………………8分
（Ⅱ）依题意得. …………………………10分
则. ………………………………………12分
即的单调递增区间是. …………………13分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为
由已知条件得 ，……………………2分
解得 ，．……………………4分
∴． ………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
∴==．………………9分
∴==．……11分
即数列的前n项和=． …………………………………13分
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ），
………2分
, .
而, …4分
又
…………6分
（Ⅱ）
又
分别以
则
………………………7分
设，则
令………………………9分
又平面的法向量＝(0，0，2) ………………………10分
………………………12分
所以二面角所成平面角的余弦值是．………………………13分
20.（本小题满分14分）
解：（1）的定义域为，， ……………2分
令，得，
当时，；当时，， ……………5分
所以在上单调递减；在上单调递增，
故当时取最小值为。 ……………7分
（2）存在，使成立，即在能成立，等价于在能成立；
等价于 ……………9分
记，
则……11分
当时，；当时，，
所以当时取最小值为4，故。 ……………14分
21．（本小题满分14分）
解: （1）由题意知， ，即 ，………………2分
∴ 解得∴．………………4分
由，解得. …………………………………7分
（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径的圆，
直线方程的一般方程为，………………3分
圆C的圆心到直线l的距离，………………5分
故直线被曲线截得的线段长度为．………7分
（3）当时，原不等式可化为，又，此时无解；…………………………………………2分
当时，原不等式可化为，又，此时解集为；…………………………………………4分
当时，原不等式可化为，又，此时解集为.………………………………………6分
综上知：不等式的解集为.…………7分
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