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其次章 函数、基本初等函数
第7讲 函数的图象
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．
解析 ∵x∈[0,4]，∴x2∈[0,16]，∴x2＝0，
，，，，都满足f(x)＝0，此时x有6个值．
∴f(x)的零点个数为6.
答案 6
2．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上全部的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．
解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1，将y＝lg x的图象向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y＝lg(x＋3)－1的图象．
答案 3 1
3．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是________．
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
答案 (－1,0)
4．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
解析 如图，作出y＝x2－|x|＋a的图象，若要使y＝1与其有4个交点，则需满足a－＜1＜a，解得1＜a＜.
答案
5．若方程|ax|＝x＋a(a>0)有两个解，则a的取值范围是________．
解析 画出y＝|ax|与y＝x＋a的图象，如图．只需a>1.
答案 (1，＋∞)
6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.
解析 与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x，依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象可由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 e－x－1
7．函数f(x)＝log2(x≠0)的图象在第________象限．
解析 函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)，当x∈(0,1)时，＝－1＋＞1，f(x)＝log2＞0，此时函数f(x)的图象在第一象限；又函数f(x)是奇函数，所以x∈(－1,0)时，函数f(x)的图象在第三象限．
答案 一、三
8．(2021·长沙模拟)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．
解析 当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.
答案 (0,1]
二、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．
解 (1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．
(2)由图象可以看出，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解 f(x)＝
作出函数图象如图．
(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．
(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m＜1，
∴M＝{m|0＜m＜1}．
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
1．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，给出下列不等式：①f(x1)＋f(x2)<0；②f(x1)＋f(x2)>0；③f(x1)－f(x2)>0；④f(x1)－f(x2)<0.其中成立的是________(填序号)．
解析 函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 ④
2．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx (－2≤x≤4)的图象全部交点的横坐标之和等于________．
解析 令1－x＝t，则x＝1－t.
由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.
又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt.
在同一坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象．
由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．
因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.
也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，
因此x1＋x2＋…＋x8＝8.
答案 8
3．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是________．
解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的图象如图，
记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，
即函数y＝f(x)与y＝kx＋k＋1的图象有四个交点，
故kAB＜k＜0，kAB＝＝－，∴－＜k＜0.
答案
4．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.
∵g(x)在(0,2]上为减函数，
∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞).
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