资源描述
1．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1 B．．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B．由，得
即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1．
2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“F＝E＝0且D<0”是“⊙C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．由题意可知，要求圆心坐标为，而D可以大于0．
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：选D．由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5．
4．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：选A．由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，又圆与直线4x－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．
5．(2021·温州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：选C．圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，由于四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2．
6．假如直线l将圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．
解析：由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，
当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，
|OC|＝＝．
答案：
7．已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________．
解析：设圆心坐标为M(x，y)，
则(x－1)2＋(y＋1)2＝，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝9．
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9
8．(2021·太原市模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．
解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3．
答案：3
9．在平面直角坐标系xOy中，求与x轴相交于A(1，0)和B(5，0)两点且半径为的圆的标准方程．
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5．
由于点A，B在圆上，所以可得到方程组：
解得
所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5
或(x－3)2＋(y＋1)2＝5．
法二：由于A，B两点在圆上，那么线段AB是圆的一条弦，依据平面几何学问：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)．
又AC＝，得 ＝．
解得b＝1或b＝－1．
因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5
或(x－3)2＋(y＋1)2＝5．
10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上，
得a＋b－3＝0．①
又∵直径|CD|＝4，
∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得或
∴圆心P(－3，6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40
或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上全部的点均在其次象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D．曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，
其为圆心为(－a，2a)，半径为2的圆，
要使圆C的全部的点均在其次象限内，
则圆心(－a，2a)必需在其次象限，从而有a>0，
并且圆心到两坐标轴的最短距离应当大于圆C的半径，
易知圆心到坐标轴的最短距离为|－a|，
则有|－a|>2，得a>2．
2．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
A．6 B．
C．8 D．
解析：选B．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离为d＝＝，
∴△ABP的面积的最小值为×5×(－1)＝．
3．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．
解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝．
答案：
4．(创新题)已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0，1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
解析：由于直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤．设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π．
答案：(3－2)π
5．(2021·高考课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r．
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3．
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1．
(2)设P(x0，y0)．由已知得＝．
又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得
此时，圆P的半径r＝．
由得
此时，圆P的半径r＝．
故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3．
6．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O．
(1)求圆C的方程；
(2)摸索求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8．
∵直线y＝x与圆C相切于原点O，
∴O点在圆C上，
且OC垂直于直线y＝x，
于是有⇒或．
由于点C(a，b)在其次象限，故a<0，b>0，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8．
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有
解之得x＝或x＝0(舍去)．
∴存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．
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