资源描述
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(，2) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．(，1)
解析：选C．由题意可得，2k－1＞2－k＞0，
即解得1＜k＜2．
2．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选D．依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4．
3．(2021·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A．设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6．
4．(2021·豫西五校联考)已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D．由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3．所以b2＝3，即b＝．
5．(2021·内蒙古包头调研)椭圆＋＝1上有两个动点P、Q，E(3，0)，EP⊥EQ，则·的最小值为( )
A．6 B．3－
C．9 D．12－6
解析：选A．设P点坐标为(m，n)，则＋＝1，所以|PE|＝＝＝，由于－6≤m≤6，所以|PE|的最小值为，所以·＝·(－)＝2－·＝||2，所以·的最小值为6．
6．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为________．
解析：由题意知解得
∴椭圆方程为＋＝1或 ＋＝1．
答案：＋＝1或 ＋＝1
7．(2021·福州质检)若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则由题意知，2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
8．(2021·宜昌调研)过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2．联立，解得交点A(0，－2)，B(，)，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×|－2－|＝．
答案：
9．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．
解：(1)依据c＝及题设知M，＝，
2b2＝3ac．
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为．
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a．①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|．
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1．②
将①及c＝代入②得＋＝1．
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2．
10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得c＝2，e＝＝．
解得a＝2．
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋m．
由，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝＝－，y0＝x0＋m＝．
由于AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1．
解得m＝2．
此时方程①为4x2＋12x＝0．
解得x1＝－3，x2＝0．所以y1＝－1，y2＝2．
所以|AB|＝3．
此时，点P(－3，2)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．
1．(2021·山西省第三次四校联考)已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B．∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝．mx2＋4y2＝4m可化为＋＝1，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，有＝，∴m＝3；当它表示焦点在y轴上的椭圆时，有＝，∴m＝；当它表示焦点在x轴上的双曲线时，可化为－＝1，有＝2，∴m＝－12．∴满足条件的圆锥曲线有3个．
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A．
如图所示，设线段PF1与圆切于点M，则|OM|＝b，|OF1|＝c，故|MF1|＝，所以|PF1|＝2|MF1|＝2．又O为F1F2的中点，M为PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2b．由椭圆的定义，得2＋2b＝2a，即＝a－b，即＝a－，即＝1－，两边平方，整理得3e2－3＝－2，再次平方，整理得9e4－14e2＋5＝0，解得e2＝或e2＝1(舍去)，故e＝．
3．(2021·贵阳模拟)已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________．
解析：由题意可得a＝10，b＝8，c＝6．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝20①，在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144②，①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝400－144＝256，∴|PF1|·|PF2|＝128，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×128＝64．
答案：64
4．(2022·高考安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
解析：设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，
∴F1(－，0)，F2(，0)．
∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)．
∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，
∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
∴x0＝－ ，y0＝－．
∴点B的坐标为．
将B代入x2＋＝1，得b2＝．
∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1．
答案：x2＋y2＝1
5．(2021·山西省其次次四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0，1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由于c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1．
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
则由，得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝2，得x1＝－2x2．
又，
所以，
消去x2得()2＝．
解得k2＝，k＝±．
所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0．
6．(选做题)(2022·高考北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意得，椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率e＝＝．
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0．
由于OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．
又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0<x≤4)．
由于＋≥4(0<x≤4)，
且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．
故线段AB长度的最小值为2．
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