1、1已知m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2ny的焦点坐标是()A(0，) B(，0)C(0，) D(，0)解析：选A由题意知，2nmmn且n2mmn，解得m2，n4，故抛物线为x22y，其焦点坐标为(0，)2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：选D由于双曲线的焦点为(，0)，(，0)设抛物线方程为y22px(p0)，则，所以p2，所以抛物线方程为y24x3(2022高考课标全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A B6
2、C12 D7解析：选CF为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx联立得x2x0x1x2，即xAxB由于|AB|xAxBp，所以|AB|124已知点A(2，0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|()A2 B12C1 D13解析：选C直线FA：yx1，与x24y联立，得xM1，直线FA：yx1，与y1联立，得N(4，1)，由三角形相像知5(2021衡水中学调研)已知等边ABF的顶点F是抛物线C1：y22px(p0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且ABl，则点A的位置()A在C1开口内 B在C1上C在C1开
3、口外 D与p值有关解析：选B设B(，m)，由已知有AB中点的横坐标为，则A(，m)，ABF是边长|AB|2p的等边三角形，即|AF|2p，p2m24p2，mp，A(，p)，代入y22px中，得点A在抛物线上，故选B6(2021四川资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_解析：设抛物线方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得m8所以抛物线方程是x28y答案：x28y7(2021厦门质检)已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，依据抛物线
4、的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，y4，|yP|2答案：28 (2021兰州市、张掖市联考)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，依据题意得p，抛物线的方程是y23x答案：y23x9抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的
5、一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，p2c设抛物线方程为y24cx，抛物线过点(，)，64c，c1，故抛物线方程为y24x又双曲线1过点(，)，1又a2b2c21，1a2或a29(舍去)b2，故双曲线方程为4x2110已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2抛物线方程为y24x(2)点A的坐
6、标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，kFA，MNFA，kMN又FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，N的坐标为1(2021河南郑州模拟)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2解析：选C由题意可设直线方程为y(x)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得y22pyp20，y1y22p线段AB的中点的纵坐标为2，2p2抛物线的准线方程为x12(2021江西上饶模拟)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物
7、线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4 B16C4 D8解析：选B依题意可得，(|)又由于|yA1，|yB1，所以(yAyByAyB1)设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立x24y，可得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4所以yAyB1，yAyB4k22所以(4k24)同理(4)所以(4k28)16当且仅当k1时等号成立3(2021山西省忻州市联考)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_解析：由题意知，圆x2(y4)21的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1
8、，0)，依据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|11答案：14已知抛物线x22y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_解析：由x22y，得yx2，yx设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，过点P的抛物线的切线方程为yy1x1(xx1)，又x2y1，切线方程为yx1x，同理可得过点Q的切线方程为yx2x，两切线方程联立解得又抛物线焦点F的坐标为(0，)，易知直线l的斜
9、率存在，可设直线l的方程为ymx，由，得x22mx10，所以x1x21，所以yA答案：5(2021厦门模拟) 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)点P(1，2)在抛物线上，222p1，解得p2故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾
10、斜角互补，kPAkPB由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24由得，yy4(x1x2)，kAB16(选做题)(2021吉林长春调研)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值解：(1)由题可知F(，0)，则该直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20l为抛物线C的切线，0，解得b1l的方程为yx1设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2由(1)可知：x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24yy4(x1x2)，y1y244，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当m2，即点P的坐标为(2，3)时，的最小值为14
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