资源描述
1．已知m，n，m＋n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则抛物线mx2＝ny的焦点坐标是( )
A．(0，) B．(，0)
C．(0，) D．(，0)
解析：选A．由题意知，2n＝m＋m＋n且n2＝m·mn，解得m＝2，n＝4，故抛物线为x2＝2y，其焦点坐标为(0，)．
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D．由于双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，
则＝，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝±4x．
3．(2022·高考课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．6
C．12 D．7
解析：选C．∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－．
联立得x2－x＋＝0．
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝．
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12．
4．已知点A(2，0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
解析：选C．直线FA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，直线FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相像知＝＝．
5．(2021·衡水中学调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( )
A．在C1开口内 B．在C1上
C．在C1开口外 D．与p值有关
解析：选B．设B(－，m)，由已知有AB中点的横坐标为，则A(，m)，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝＝2p，∴p2＋m2＝4p2，∴m＝±p，∴A(，±p)，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B．
6．(2021·四川资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(－4，－2)的抛物线方程是________．
解析：设抛物线方程为x2＝my，将点P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8．
所以抛物线方程是x2＝－8y．
答案：x2＝－8y
7．(2021·厦门质检)已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为________．
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，依据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，
∴y＝4，∴|yP|＝2．
答案：2
8． (2021·兰州市、张掖市联考)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，
∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，依据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x．
答案：y2＝3x
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p＝2c．
设抛物线方程为y2＝4c·x，
∵抛物线过点(，)，
∴6＝4c·，
∴c＝1，
故抛物线方程为y2＝4x．
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1．又a2＋b2＝c2＝1，
∴－＝1．
∴a2＝或a2＝9(舍去)．
∴b2＝，
故双曲线方程为4x2－＝1．
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
∴p＝2．
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)∵点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又∵F(1，0)，∴kFA＝，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－．
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
∴N的坐标为．
1．(2021·河南郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝－1 D．x＝－2
解析：选C．由题意可设直线方程为y＝－(x－)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
整理得y2＋2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝－2p．
∵线段AB的中点的纵坐标为－2，
∴＝－2．∴p＝2．
∴抛物线的准线方程为x＝－1．
2．(2021·江西上饶模拟)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于( )
A．－4 B．－16
C．4 D．－8
解析：选B．依题意可得，·＝－(||·||)．
又由于||＝yA＋1，||＝yB＋1，
所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．
设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4．
所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2．
所以·＝－(4k2＋4)．
同理·＝－(＋4)．
所以·＋·＝－(4k2＋＋8)≤－16．
当且仅当k＝±1时等号成立．
3．(2021·山西省忻州市联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0)，依据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1．
答案：－1
4．已知抛物线x2＝2y，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：由x2＝2y，得y＝x2，∴y′＝x．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴抛物线在P，Q两点处的切线的斜率分别为x1，x2，∴过点P的抛物线的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，又x＝2y1，∴切线方程为y＝x1x－，同理可得过点Q的切线方程为y＝x2x－，两切线方程联立解得．
又抛物线焦点F的坐标为(0，)，易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝mx＋，由，得x2－2mx－1＝0，所以x1x2＝－1，所以yA＝－．
答案：－
5．(2021·厦门模拟) 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2．故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则
kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB．
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4．
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1．
6．(选做题)(2021·吉林长春调研)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．
解：(1)由题可知F(，0)，
则该直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则有x1＋x2＝3p．
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x．
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0．
∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1．
∴l的方程为y＝x＋1．
设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2．
由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4．
∵y－y＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2
＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·的最小值为－14．
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