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提能专训(十六) 概率、随机变量的分布列
一、选择题
1．(2022·东北三校二模)设随机变量ξ听从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，则c的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 由于ξ听从正态分布N(2,9)，即μ＝2为图象的对称轴，而P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，即μ＝c与μ＝c－2关于μ＝2对称，则有＝2，c＝3.
2．(2022·邯郸二模)甲、乙、丙3位老师支配在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多支配1人，则恰好甲支配在另外两位老师前面值班的概率是( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 第一种状况：甲支配在第一天，则有A＝12种；其次种状况：甲支配在其次天，则有A＝6种；甲支配在第三天，则有A＝2种，所以P＝＝.
3．(2022·景德镇第一次质检)甲、乙两名棋手竞赛正在进行中，甲必需再胜2盘才最终获胜，乙必需再胜3盘才最终获胜，若甲、乙两人每盘取胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 甲、乙再打2局甲胜的概率为×＝；甲、乙再打3局甲胜的概率为2×××＝；甲、乙再打4局甲胜的概率为3×4＝.所以甲最终获胜的概率为＋＋＝，故选B.
4．(2022·深圳调研)如图，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 阴影部分的面积为SM＝[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝(x－x2)dx＝＝－＝.
又矩形OABC的面积S＝2，故所求的概率为P＝.
5．(2022·武汉调研测试)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 三个电子元件的使用寿命均听从正态分布N(1 000,502)，则三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p＝，设A＝{超过1 000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}；B＝{超过1 000小时，元件3正常}，C＝{该部件的使用寿命超过1 000小时}，则p(A)＝1－(1－p)2＝，p(B)＝，p(C)＝p(AB)＝p(A)p(B)＝×＝，故选B.
6．(2022·沈阳质检一)在满足不等式组的平面点集中随机取一点M(x0，y0)，设大事A＝“y0<2x0”，那么大事A发生的概率是( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 作出不等式组对应的平面区域，是图中的三角形ABC，其中大事A对应的区域如图中阴影部分，所以大事A发生的概率为，故选B.
7．盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同．若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 记“取到蓝球”为大事A，“取到玻璃球”为大事B.则已知取到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是B发生的条件下A发生的概率，记作P(A|B)．由于P(AB)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A|B)＝＝＝.
8．设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1<x2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为( )
A. B. C．3 D.
[答案] C
[解析] 由E(ξ)＝，D(ξ)＝，得
解得或
由于x1<x2，∴
∴x1＋x2＝3.
9．(2022·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成果，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，假如已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为( )
A. B. C. D．0
[答案] A
[解析] 由于运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a＋9b＝9，所以＋＝(9b＋10a)＝＋＋101≥.当且仅当＝时取等号，即a＝9b.将其和10a＋9b＝9联立可解得a＝，b＝.又由于a＋b＋c＝1，所以c＝.
10．(2022·东北三省四市二联)P为圆C1：x2＋y2＝9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2＝25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化简得2＋y－2＝，故M轨迹是以为圆心、以为半径的圆，又点(x0，y0)在圆x2＋y2＝25上，所以区域M为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为＝，故选B.
11．(2022·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)
∴即
那么S△ABC＝×10×10sin 75°＝×10×10×＝25(3＋)．
于是，豆子落在三角形ABC内的概率为
P＝＝＝.
12．体育课的排球发球项目考试的规章是：每位同学最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设同学一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈，故应选C.
二、填空题
13．(2022·乌鲁木齐二诊)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x及直线x＝a(a∈(0,2π))与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝________.
[答案] π
[解析] 依据题意，阴影部分的面积为×＝sin xdx，即－(cos a－cos 0)＝2，cos a＝－1，又a∈(0,2π)，故a＝π.
14．(2022·唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)听从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg的概率为________．(精确到0.000 1)
注：P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 6，
P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.954 4，
P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.997 4.
[答案] 0.022 8
[解析] 由于袋装大米质量(单位：kg)听从正态分布N(10,0.12)，
所以P(ξ<9.8)＝[1－P(9.8<ξ<10.2)]
＝[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]
＝×(1－0.954 4)＝0.022 8.
15．(2022·潍坊一模)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场竞赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．
[答案]
[解析] 由题中茎叶图知，甲在五场竞赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成果的四场竞赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本大事，而大事“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本大事，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为.
16．(2022·嘉兴3月测试一)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必需回答，但相互不影响)．设某同学对每道题答对的概率为，则该同学在面试时得分的期望为________．
[答案]
[解析] 由题意得，该同学有可能答对0,1,2,3道，所以得分可能为－15，0,15,30.依据独立试验同时发生的概率计算公式可得，得分可能为－15，0,15,30对应的概率分别为
C3·0，C21，
C1·2，C03，
即为，，，.
所以期望为(－15)×＋0×＋15×＋30×＝，故填.
三、解答题
17．(2022·广州综合测试)甲、乙、丙三人参与某次聘请会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．
(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；
(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的确定值，求ξ的分布列与均值(数学期望)．
解：(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的大事分别为A1，A2，A3，
由已知A1，A2，A3相互独立，且满足
解得P(A2)＝，P(A3)＝.
所以乙、丙各自能被聘用的概率分别为，.
(2)ξ的可能取值为1,3.
由于P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(1 2 3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]
＝××＋××＝.
所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
3
P
所以E(ξ)＝1×＋3×＝.
18．(2022·安徽六校二联)生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
(1)试分别估量元件A、元件B为正品的概率；
(2)生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(1)的前提下：
①求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；
②记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)由题可知，元件A为正品的概率为，元件B为正品的概率为.
(2)①设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5－x件，由题意知100x－20(5－x)≥300得到x＝4,5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为大事C，则P(C)＝C4×＋C5＝.
②随机变量X的全部取值为150,90,30，－30，
则P(X＝150)＝×＝，
P(X＝90)＝×＝，
P(X＝30)＝×＝，
P(X＝－30)＝×＝，
所以X的分布列为：
X
150
90
30
－30
P
E(X)＝150×＋90×＋30×－30×＝108.
19．(2022·成都二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示．
以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
(1)现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；
(2)已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发觉，A型节能灯每件产品的利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：千小时)的关系如下表：
使用时间t
(单位：千小时)
t<4
4≤t<6
t≥6
每件产品的
利润y(单位：元)
－20
20
40
若从大量的A型节能灯中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：(1)从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝.
从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝.
∴从A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率
P＝C1×1×C1×1＋
C2×C2＋C2×C2＝.
(2)据题意知，X的可能取值为－40,0,20,40,60,80.
∵P(X＝－40)＝C2＝，
P(X＝0)＝C1×1＝，
P(X＝20)＝C1×1＝，
P(X＝40)＝C2＝，
P(X＝60)＝C1×1＝，
P(X＝80)＝C2＝，
∴X的分布列为：
X
－40
0
20
40
60
80
P
∴数学期望
E(X)＝10×－4×＋0＋2×＋4×＋6×＋8×＝52.
20．(2022·吉林试验中学一模)前不久，省社科院发布了2021年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，某校同学会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
解：(1)由茎叶图知，众数为8.6，中位数是8.75.
(2)在16人中极幸福的有4人．设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为大事A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.
(3)解法一：ξ的可能取值为0,1,2,3.
以这16人的样本数据来估量总体数据，则任取1人取到“极幸福”的概率为，则
P(ξ＝0)＝3＝；
P(ξ＝1)＝C××2＝；
P(ξ＝2)＝C×2×＝；
P(ξ＝3)＝3＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
解法二：由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3.
ξ～B，
则P(ξ＝k)＝Ck3－k.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
数学期望E(ξ)＝3×＝.
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