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双基限时练(十六)
1．给出下列四个结论
①－＝；
②0(a)＝0；
③0(0)＝0；
④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①－＝，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．
③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.
答案 B
2．下列叙述不正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
B. b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
解析 推断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.
答案 A
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则肯定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，且有一个公共点B，∴A，B，D三点共线．
答案 A
4．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则为( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析 如右图所示，设AD与BE相交于O，则＝，＝，＝，＝.
∴＝2＝2(＋)
＝2＝b＋a，应选B.
答案 B
5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.假如＝3e1，＝3e2，那么等于( )
A．e1＋2e2 B. 2e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1＋e2
解析 如图所示，＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
答案 A
6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，λ∈R，则点P肯定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
解析 易得－＝λ，即＝λ，
从而∥.
又，有一个公共点P，
所以C，P，A三点共线．又λ∈R，
所以点P在直线AC上．
答案 B
7．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
8．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
解析 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－a，
∴c＝b－a.
答案 b－a
9．有下面四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中真命题有________．
解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．
答案 ①②④
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于__________．
解析 由＝2，
得－＝2(－)
⇒＝＋，
所以λ＝.
答案
11．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]
＝(－3a＋6b)
＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b
＝－2(m＋n)b.
12．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.
解 由于AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
13．已知：＝3，＝3，且B，C，D，E不共线．
求证：BC∥DE.
证明 ∵＝3，＝3，
∴＝－＝3－3
＝3(－)＝3.
∴与共线．
又∵B，C，D，E不共线．
∴BC∥DE.
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