资源描述
1．已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D．由双曲线C1知：a2＝sin2θ，b2＝cos2θ⇒c2＝1，由双曲线C2知：a2＝cos2θ，b2＝sin2θ⇒c2＝1．
2．(2021·福建宁德模拟)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A． B．
C．4 D．
解析：选C．由于椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4．
3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A． B．3
C．m D．3m
解析：选A．双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝± x＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝．
4．(2021·河南开封模拟)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．易知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，由于F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，所以(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，即3c2－2ac－5a2＝0，两边同除以a2，得3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．
5．(2021·兰州市、张掖市高三联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选C．由题意知，圆的半径为5，又点(3，4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有，
解得，所以此双曲线的方程为－＝1．
6．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：依题意知()2＝9＋a，所以a＝4，
故双曲线方程为－＝1，
则渐近线方程为±＝0．
即2x±3y＝0．
答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0
7．(2021·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1．
答案：x2－＝1
8．(2021·武汉模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝≤3．
答案：(1，3]
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．
解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10．
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0．
设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，
∴所求的双曲线方程为－＝1．
10．已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2．
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在其次象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若＝，求四边形ANBM的面积．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则依据题意知双曲线的方程为－＝1且满足
解方程组得
∴椭圆的方程为＋＝1，双曲线的方程为－＝1．
(2)由(1)得A(－5，0)，B(5，0)，|AB|＝10，设M(x0，y0)，则由＝，得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x0－5，2y0)．
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，
得
消去y0，得2x－5x0－25＝0．
解得x0＝－或x0＝5(舍去)．
∴y0＝．由此可得M(－，)，∴P(－10，3)．
则直线PA的方程是y＝－(x＋5)，
代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0．
解得x＝－或x＝－5(舍去)，
∴xN＝－，则xN＝xM，所以MN⊥x轴．
∴S四边形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15．
1．(2021·唐山市高三班级统考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．5
解析：选D．依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝5．
2．(2021·山西阳泉高三第一次诊断)已知F1、F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B．由题意知a＝1，b＝1，c＝，
∴|F1F2|＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝|F1F2|2＝8，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，①
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，②
①－②得|PF1||PF2|＝4．
3．(2021·浙江杭州调研)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若||是||和||的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知||2＝||×||，即＋(a＋c)2＝2c(a＋c)，化简可得a2＝b2，则e＝＝＝＝．
答案：
4．已知c是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的半焦距，则的取值范围是________．
解析：＝＝－e＝－，由于e＞1，且函数f(e)＝－在(1，＋∞)上是增函数，那么的取值范围是(－1，0)．
答案：(－1，0)
5．(2021·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，
∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1．
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，
∴点A的坐标为(c，c)，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，
∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3()4－8()2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝，
∴双曲线的离心率为．
6．(选做题)直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)求双曲线C的方程．
解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α．
由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M．
而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q．
依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α．
又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，
所以tan 30°＝＝．
于是e2＝＝1＋＝1＋＝，
所以e＝．
(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，即x2－3y2＝3k2．
将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，
得x2－3×3(x－2)2＝3k2．
化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝2
＝2×＝＝，
解得k2＝1．
故所求双曲线C的方程为－y2＝1．
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