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第四章 第七节
一、选择题
1．(文)(2022·济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为( )
A．km B．(－1)km
C．(＋1)km D．km
[答案] B
[解析] 由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，
∵x>0，∴x＝－1.
(理)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a B．a
C．a D．2a
[答案] B
[解析] 由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2a·a·cos120°＝3a2，得AB＝a，故选B．
2．一艘海轮从A处动身，以每小时40n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )
A．10n mile B．10n mile
C．20n mile D．20n mile
[答案] A
[解析] 如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，
由正弦定理得＝，∴BC＝10，故选A．
3．海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )
A．10n mile B．n mile
C．5n mile D．5n mile
[答案] D
[解析] 在△ABC中由正弦定理得＝，
∴BC＝5.
4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
[答案] C
[解析] 如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴AD＝2cos10°.
5．(文)如图所示，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝( )
A． B．2－
C．－1 D．
[答案] C
[解析] 在△ABC中，由正弦定理可知，
BC＝＝＝50(－)，
在△BCD中，sin∠BDC＝
＝＝－1.
由题图知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.
(理)(2022·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)( )
A．11.4 B．6.6
C．6.5 D．5.6
[答案] B
[解析] AB＝1 000×＝(km)，
∴BC＝·sin30°＝(km)．
∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．
∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停靠着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为( )
A．5n mile B．2n mile
C．n mile D．3n mile
[答案] C
[解析] 连接AC，∠ABC＝60°，BC＝AB＝5，则AC＝5.在△ACD中，AD＝3，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝.
7．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．( )
A．237 B．227
C．247 D．257
[答案] A
[解析] 解法1：如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，
∵AC＝，
∴AB＝AC·sin60°
＝
＝≈237.∴选A．
解法2：在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD，
∴BC＝AB－100.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴＝，∴AB＝150＋50≈237.
二、填空题
8．(2022·镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30
[解析] 如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km)．
9.(2022·潍坊模拟)如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h.
[答案] 32
[解析] 设航速长为v n mile/h，
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：＝，∴v＝32.
三、解答题
10．(文)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口A还有多远？
[解析] 在△BDC中，由余弦定理知，
cos∠CDB＝＝－，
∴sin∠CDB＝.
∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－)
＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.
在△ACD中，由正弦定理知＝
⇒AD＝×21÷＝15(n mile)．
∴此时轮船距港口还有15n mile.
(理)在海岸A处，发觉北偏东45°方向，距离A为(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[解析] 如图所示，留意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．
设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，
∴BC＝，
∵cos∠CBA＝
＝＝，
∴∠CBA＝45°，即B在C正东．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
[点评] 本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再依据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要留意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
一、选择题
11．(2021·江西乐安一中月考)在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则△ABC的外形为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
[答案] D
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)，
∵sinC＋sin(B－A)＝sin2A，
∴sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，
∴2sinBcosA＝2sinAcosA，
∴cosA＝0或sinA＝sinB，
∴A＝或A＝B，故选D．
12．(2022·四川雅安中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，则△ABC的外形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．正三角形
[答案] C
[解析] 由正弦定理可把原式化为a2＋b2－c2<0，由余弦定理可知cosC＝<0，所以C为钝角，因此△ABC为钝角三角形．
13．(2022·山西长治二中、康杰中学等四校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于( )
A．5 B．25
C． D．5
[答案] A
[解析] 依据正弦定理知＝，故bsinA＝，∵S△ABC＝2，即bcsinA＝2，∴c＝4.依据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4×cos45°＝25，可得b＝5.故选A．
二、填空题
14．(2022·皖北协作区联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若acosC＋asinC－b＝0，则∠A＝________.
[答案]
[解析] 由acosC＋asinC－b＝0得sinAcosC＋sinAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAsinC＝cosAsinC，
∵sinC≠0，∴tanA＝，∴A＝.
15.(2021·湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树________m时，看A，B的视角最大．
[答案] 6
[解析] 过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝－＝5(m)，BF＝－＝4(m)，AF＝－＝9(m)．则tan(α＋β)＝＝，tanβ＝＝，∴tanα＝[(α＋β)－β]＝＝＝≤＝.当且仅当FC＝，即FC＝6时，tanα取得最大值，此时α取得最大值．
三、解答题
16．(文)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角为β＝15°的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为γ＝60°，求山高h(单位：m)．
[解析] 在三角形ABP中，
∠ABP＝180°－γ＋β，
∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP
＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.
在△ABP中，依据正弦定理得＝，
∴＝，
∴AP＝.
又γ＝60°，α＝30°，β＝15°，
∴山高为h＝APsinα＝＝5(m)．
(理)在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观看站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度；
(2)求船从B到C行驶过程中与观看站P的最短距离．
[解析] (1)设船速为xkm/h，则BC＝km.
在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，
∴AB＝＝.
同理，Rt△PCA中，AC＝＝.
在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，
∴由余弦定理得
BC＝＝，
∴x＝6×＝2km/h，∴船的航行速度为2km/h.
(2)作AD⊥BC于点D，连接PD，
∴当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．
此时，AD＝＝＝.
∴PD＝＝.
∴船在行驶过程中与观看站P的最短距离为km.
17．(文)如图所示，甲船由A岛动身向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从A岛动身的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛动身，朝北偏东θ(θ＝arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10n mile/h.
(1)求动身后3h两船相距多少海里？
(2)求两船动身后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？
(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由．
[解析] 以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，
则x1＝15tcos45°＝15t，y1＝x1＝15t，
由θ＝arctan可得，cosθ＝，sinθ＝，
故x2＝10tsinθ＝10t，y2＝10tcosθ－40＝20t－40，
(1)令t＝3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，
|PQ|＝＝＝5.
即两船动身后3h，相距5n mile.
(2)由(1)的求解过程易知：
|PQ|＝
＝
＝＝≥20，
∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20.
即两船动身后4h，相距最近，距离为20n mile.
(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20n mile，故两船不行能相遇．
(理)(2022·南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的大路AB，AC，依据规划拟在两条大路之间的区域内建一工厂P，分别在两条大路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
[解析] 设∠AMN＝θ，在△AMN中，
＝.
由于MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)．
当且仅当2θ＋150°＝270°，当θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
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