【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第4章-第7节-解三角形应用举例.docx

第四章第七节一、选择题1(文)(2022济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40，AB两船距离为3km，则B到C的距离为()AkmB(1)kmC(1)kmDkm答案B解析由条件知，ACB8040120，设BCxkm，则由余弦定理知9x244xcos120，x0，x1.(理)已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()AaBaCaD2a答案B解析由余弦定理可知，AB2a2a22aacos1203a2，得ABa，故选B2一艘海轮从A处动身，以每小时40n mile的速度沿东偏南50方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是东偏南20，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()A10n mileB10n mileC20n mileD20n mile答案A解析如图，由条件可知ABC中，BAC30，ABC105，AB20，ACB45，由正弦定理得，BC10，故选A3海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是()A10n mileBn mileC5n mileD5n mile答案D解析在ABC中由正弦定理得，BC5.4有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1B2sin10C2cos10Dcos20答案C解析如图，BD1，DBC20，DAC10，在ABD中，由正弦定理得，AD2cos10.5(文)如图所示，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50m，山坡对于地平面的坡度为，则cos()AB2C1D答案C解析在ABC中，由正弦定理可知，BC50()，在BCD中，sinBDC1.由题图知，cossinADEsinBDC1.(理)(2022贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A11.4B6.6C6.5D5.6答案B解析AB1 000(km)，BCsin30(km)航线离山顶hsin7511.4(km)山高为1811.46.6(km)6.如图，海岸线上有相距5n mile的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向海上停靠着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75方向，与A相距3n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60方向，与B相距5n mile的C处，则两艘轮船之间的距离为()A5n mileB2n mileCn mileD3n mile答案C解析连接AC，ABC60，BCAB5，则AC5.在ACD中，AD3，AC5，DAC45，由余弦定理得CD.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237B227C247D257答案A解析解法1：如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A解法2：在RtABD中，ADB45，ABBD，BCAB100.在RtABC中，ACB60，AB15050237.二、填空题8(2022镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30 解析如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)9.(2022潍坊模拟)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.答案32解析设航速长为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32.三、解答题10(文)港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21n mile，问此时轮船离港口A还有多远？解析在BDC中，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsin(CDB)sinCDBcoscosCDBsin.在ACD中，由正弦定理知AD2115(n mile)此时轮船距港口还有15n mile.(理)在海岸A处，发觉北偏东45方向，距离A为(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A为2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析如图所示，留意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，BC，cosCBA，CBA45，即B在C正东CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船点评本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再依据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要留意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点一、选择题11(2021江西乐安一中月考)在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若sinCsin(BA)sin2A，则ABC的外形为()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案D解析ABC，sinCsin(AB)，sinCsin(BA)sin2A，sin(AB)sin(BA)sin2A，2sinBcosA2sinAcosA，cosA0或sinAsinB，A或AB，故选D12(2022四川雅安中学月考)在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinAbsinBcsinC，则ABC的外形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D正三角形答案C解析由正弦定理可把原式化为a2b2c20，由余弦定理可知cosC0，所以C为钝角，因此ABC为钝角三角形13(2022山西长治二中、康杰中学等四校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则b等于()A5B25CD5答案A解析依据正弦定理知，故bsinA，SABC2，即bcsinA2，c4.依据余弦定理b2a2c22accosB132214cos4525，可得b5.故选A二、填空题14(2022皖北协作区联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若acosCasinCb0，则A_.答案解析由acosCasinCb0得sinAcosCsinAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，即sinAsinCcosAsinC，sinC0，tanA，A.15.(2021湖北八市联考)如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树_m时，看A，B的视角最大答案6解析过C作CFAB于点F，设ACB，BCF，由已知得AB5(m)，BF4(m)，AF9(m)则tan()，tan，tan().当且仅当FC，即FC6时，tan取得最大值，此时取得最大值三、解答题16(文)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走10m到B，在B处测得山顶P的仰角为60，求山高h(单位：m)解析在三角形ABP中，ABP180，BPA180()ABP180()(180).在ABP中，依据正弦定理得，AP.又60，30，15，山高为hAPsin5(m)(理)在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观看站P，有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午1100时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到1110时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观看站P的最短距离解析(1)设船速为xkm/h，则BCkm.在RtPAB中，PBA与俯角相等为30，AB.同理，RtPCA中，AC.在ACB中，CAB154560，由余弦定理得BC，x62km/h，船的航行速度为2km/h.(2)作ADBC于点D，连接PD，当航行驶到点D时，AD最小，从而PD最小此时，AD.PD.船在行驶过程中与观看站P的最短距离为km.17(文)如图所示，甲船由A岛动身向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为15n mile/h，在甲船从A岛动身的同时，乙船从A岛正南40n mile处的B岛动身，朝北偏东(arctan)的方向做匀速直线航行，速度为10n mile/h.(1)求动身后3h两船相距多少海里？(2)求两船动身后多长时间相距最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇？试说明理由解析以A为原点，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x115tcos4515t，y1x115t，由arctan可得，cos，sin，故x210tsin10t，y210tcos4020t40，(1)令t3，则P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|5.即两船动身后3h，相距5n mile.(2)由(1)的求解过程易知：|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20.即两船动身后4h，相距最近，距离为20n mile.(3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为20n mile，故两船不行能相遇(理)(2022南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60的大路AB，AC，依据规划拟在两条大路之间的区域内建一工厂P，分别在两条大路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解析设AMN，在AMN中，.由于MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0,120)当且仅当2150270，当60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.