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第三课时 导数的综合应用
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2021·宜昌模拟)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( )
A. B.
C. D．1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当0<x<时，f′(x)>0；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.
答案 D
2．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )
A．f(－a2)≤f(－1)
B．f(－a2)<f(－1)
C．f(－a2)≥f(－1)
D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定
解析 由题意可得f′(x)＝x2－2x－，令f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当－1<x<时，f′(x)<0，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又由于－a2≤0，所以f(－a2)≤f(－1)．
答案 A
3．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( )
A．－2<m<2 B．－2≤m≤2
C．m<－2或m>2 D．m≤－2或m≥2
解析 y′＝3(1－x)(1＋x)，由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y微小＝－2，∴－2<m<2.
答案 A
4．如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为(注：π≈3.1)( )
A．27分米/分钟 B．9分米/分钟
C．81分米/分钟 D．9分米/分钟
解析 设t时刻水面高度为h，半径为r，则r＝h.此时水的体积V＝πr2h＝πh3，又V＝9.3t
所以πh3＝9.3t，且π≈3.1.
答案 B
5．已知定义在R上的偶函数f(x)，f(1)＝0，当x>0时有>0，则不等式xf(x)>0的解集为( )
A．{x|－1<x<0} B．{x|x>1或－1<x<0}
C．{x|x>0} D．{x|－1<x<1}
解析 当x>0时有>0，
即′>0，∴在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(x)为R上的偶函数，∴xf(x)为R上的奇函数．
∵xf(x)>0，∴x2>0.∴>0.
∵在(0，＋∞)上单调递增，且＝0，
∴当x>0时，若xf(x)>0，则x>1.
又∵xf(x)为R上的奇函数，∴当x<0时，
若xf(x)>0，则－1<x<0.
综上，不等式的解集为{x|x>1或－1<x<0}．
答案 B
6．(2022·东北三省联考)已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f(x)<f′(x)，对于任意x∈R恒成立，则( )
A．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)
B．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)>e2 010·f(0)
C．f(2)>e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)
D．f(2)<e2·f(0)，f(2 010)<e2 010·f(0)
解析 设g(x)＝，则g′(x)＝，
又f(x)<f′(x)对x∈R恒成立，所以g′(x)>0.
所以g(x)在R上单调递增．
∴g(2)>g(0)，即>.∴f(2)>e2f(0)．
又g(2 010)>g(0)，>，f(2 010)>e2 010f(0)，选A.
答案 A
二、填空题
7．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析 设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1.
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2.
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案 －2或2
8．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________．
解析 由f(－x)＝f(x)知，函数f(x)为偶函数，
因此f(－3)＝f(3)．
又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
当x∈时，f′(x)>0，x∈时，f′(x)<0.
∴f(x)在区间(，π)上是减函数．
∴f>f(2)>f(3)＝f(－3)．
答案 f(－3)<f(2)<f
9．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．
解析 若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
因此g(x)max＝g＝4，从而k≥4；
当x<0即x∈[－1,0)时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－.
g(x)＝－在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4，综上k＝4.
答案 4
三、解答题
10．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解 (1)设－u＝k2，
∵售价为10元时，年销量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2.
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18.
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．
(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)
＝－6(x－2)(x－9)．
令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，
明显，当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
11．(2021·南京调研)已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．
(1)若对任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；
(2)当m>1时，推断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．
解 (1)依题意，可知f(x)在R上连续，
且f′(x)＝ex－m－1，令f′(x)＝0，得x＝m，
故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．
故当x＝m时，f(m)为微小值也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1.
即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．
(2)当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，且f(x)在(0，m)上单调递减，
∴f(x)在(0，m)上有一个零点．
又f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，
∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，
∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．
1．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－mx.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求证：＋＋…＋>ln2(n∈N*)．
解 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝－m(x>－1)．
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)为
(－1，＋∞)上的增函数，所以f(x)没有极值．
当m>0时，由f′(x)>0，得－1<x<－1；
由f′(x)<0，得x>－1.
所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
故当x＝－1时，f(x)有极大值f＝m－1－lnm，但无微小值．
(2)证明：取m＝1，由(1)知f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)<f(0)＝0.
即ln(1＋x)<x(x>0)．
令x＝(k>0)，得ln(1＋)<，即ln<，分别取k＝n＋1，n＋2，…，n＋(n＋1)，n∈N*，可得＋＋…＋>
ln＋ln＋…＋ln＝ln＝ln2.
即＋＋…＋>ln2(n∈N*)成立．
2．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈.
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<<b对x∈恒成立，求a的最大值与b的最小值．
解 (1)证明：由f(x)＝xcosx－sinx得
f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
由于在区间上f′(x)＝－xsinx<0，
所以f(x)在区间上单调递减．
从而f(x)≤f(0)＝0.
(2)当x>0时，“>a”等价于“sinx－ax>0”；
“<b”等价于“sinx－bx<0”．
令g(x)＝sinx－cx，则g′(x)＝cosx－c.
当c≤0时，g(x)>0对任意x∈恒成立．
当c≥1时，由于对任意x∈，g′(x)＝cosx－c<0，
所以g(x)在区间上单调递减．
从而g(x)<g(0)＝0对任意x∈恒成立．
当0<c<1时，存在唯一的x0∈使得
g′(x0)＝cosx0－c＝0.
g(x)与g′(x)在区间上的状况如下：
由于g(x)在区间[0，x0]上是增函数，
所以g(x0)>g(0)＝0.
进一步，“g(x)>0对任意x∈恒成立”当且仅当g＝1－c≥0，即0<c≤.
综上所述，当且仅当c≤时，g(x)>0对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈恒成立．
所以，若a<<b对任意x∈恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.
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