2022届高三理科数学一轮复习题组层级快练67-Word版含答案.docx

题组层级快练(六十七)1(2022新课标全国理)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.B.C. D.答案D解析先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一：联立抛物线方程化简，得4y212y90.故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.方法二：联立方程，得x2x0，故xAxB.依据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，原点到直线AB的距离为h.因此SOAB|AB|h.另解：|AB|12，SABO|OF|AB|sin12.2设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)答案B解析设A(x0，y0)，F(1,0)，(x0，y0)，(1x0，y0)，x0(1x0)y4.y4x0，x0x4x040x3x040，x11，x24(舍)x01，y02.3已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k()A. B.C. D2答案D解析由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为yk(x2)，将其代入y28x，得k2x24(k22)x4k20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.由0，(x12，y12)(x22，y22)0.(x12)(x22)(y12)(y22)0，即x1x22(x1x2)4y1y22(y1y2)40.由式，解得k2.故选D.4.(2021河南豫东、豫北十所名校)如图所示，过抛物线x22py(p0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|BF|，且|AF|42，则p的值为()A1 B2C. D3答案B解析过B作准线的垂线BB，则|BB|BF|，由|BC|BF|，得直线l的倾斜角为45.设A(x0，y0)，由|AF|42，得x0|AF|22.(22)p42，p2.5(2021江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：yx22，过原点的动直线l交抛物线C于A，B两点，P是AB的中点，设动点P(x，y)，则4xy的最大值是()A2 B2C4 D4答案A解析设直线l的方程为ykx，与抛物线C的方程yx22联立，消去y，得x2kx20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2k，所以x，y，所以4xy2k(k2)22.故当k2时，4xy取最大值2.6.(2021湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|2|BN|，则k的值是()A. B.C. D2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky24y4k0.由于直线与抛物线相交，所以有424k4k16(1k2)0.(*)y1，y2是方程的两个根，所以有又由于|AM|2|BN|，所以y12y2.解由组成的方程组，得k.把k代入(*)式检验，不等式成立所以k，故选C.7设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6C4 D3答案B解析焦点F坐标为(1,0)，设A，B，C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x11，y1)，(x21，y2)，(x31，y3)0，x11x21x310.x1x2x33.|x11x21x316.8已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_答案32解析设直线方程为xky4，与抛物线联立得y24ky160，y1y24k，y1y216.yy(y1y2)22y1y216k232.故最小值为32.9.如图所示，直线l：yxb与抛物线C：x24y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物C的准线相切的圆的方程答案(1)1(2)(x2)2(y1)24解析(1)由得x24x4b0.(*)由于直线l与抛物线C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)为x24x40，解得x2.将其代入x24y，得y1.故点A(2,1)由于圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y1的距离，即r|1(1)|2.所以圆A的方程为(x2)2(y1)24.10.如图所示，斜率为1的直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2)求SABM的最大值答案(1)y24x(2)p2解析(1)由条件知lAB：yx，与y22px联立，消去y，得x23pxp20，则x1x23p.由抛物线定义得|AB|x1x2p4p.又由于|AB|8，即p2，则抛物线的方程为y24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且lAB：yx，设M(，y0)，则M到AB的距离为d.由于点M在直线AB的上方，所以y00)的焦点为F，点K(1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛的线C相交于A，B两点(1)求抛物线C的方程；(2)设，求直线l的方程答案(1)y24x(2)3x4y30或3x4y30解析(1)依题意知1，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为xmy1(m0)将xmy1代入y24x，并整理，得y24my40.由0，得m21，从而y1y24m，y1y24.所以x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11.由于(x11，y1)，(x21，y2)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m满足m21.所以直线l的方程为xy1.即3x4y30或3x4y30.12(2021山东莱芜期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F(0，c)(c0)到直线y2x的距离是.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线ykx1(k0)与抛物线C交于A，B两点，设线段AB的中垂线与y轴交于点P(0，b)，求实数b的取值范围答案(1)x22y(2)b(2，)解析(1)由题意，故c.所以抛物线C的方程为x22y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由得x22kx20.所以4k280.所以x1x22k，所以线段AB的中点坐标为(k，k21)线段AB的中垂线方程为y(xk)k21，即yxk22.令x0，得bk22.所以b(2，)1平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等，若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y24x，过点P(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立消去y，得k2x2(2k24)xk20，则(2k24)24k41，得k1或k1.2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C. D2答案C解析由题意，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,2)，则直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立得2x25x20，可得B(，)，所以SAOBSAOFSBOF1|yAyB|.