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课时作业67 数学归纳法
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
答案：B
2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
A. B．－
C.－ D.＋
解析：∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，
左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.
答案：C
3．(2022·银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的其次步是( )
A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋)
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋)
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)
D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)
解析：∵n为正奇数，依据数学归纳法证题的步骤，其次步应先假设第k个正奇数也成立，即假设n＝2k－1时正确，再推第k＋1个正奇数，即n＝2k＋1时正确．
答案：B
4．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N＋)时命题成立，那么可推知当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可以推得( )
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
解析：本题为递推关系，由n＝5时，命题不成立，故知上一步n＝4时命题不成立，否则会推出n＝5时命题成立．
答案：C
5．(2022·上海闸北一模，16)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
答案：C
6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，
左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
答案：D
7．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某同学的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即<k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1检验不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D.
答案：D
8．(2022·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
解析：1＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋，共增加了2k项．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．
解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
答案：
10．(2022·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增加的项是________．
解析：由于用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增加的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案：1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))
11．(2022·济南3月模拟，13)用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N，且n>1)时，第一步要证的不等式是________．
解析：当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2，故填1＋＋<2.
答案：1＋＋<2
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：
S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
证明：(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N＋.不等式S2n>1＋都成立．
13．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)·…·(1＋)>均成立．
证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝，
右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，
即(1＋)(1＋)·…·(1＋)>.
则当n＝k＋1时，
(1＋)(1＋)·…·(1＋)[1＋]>·＝＝>＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
14．设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．
解：(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.
(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.
下证：n≥6(n∈N＋)时都有2n>n2＋2n.
①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；
②假设n＝k(k≥6，k∈N＋)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；
由①、②可得，对于全部的n≥6(n∈N＋)
都有2n>n2＋2n成立.
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