江苏省2020—2021学年高一数学必修二随堂练习及答案：11两平面垂直.docx

随堂练习：两平面垂直

1． 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有________对．

1题图　　　　　　　2题图

2． 如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________.

3． α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cm、3 cm、6 cm，则点P到O的距离为________ cm.

4． 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD
＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．

5． 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.

6．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上． 10题图

7．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是
∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平
面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
答案
1．5
2．2∶1
3．7
4．(1)证明　如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD
是等边三角形．
由于E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又由于PA⊥平面ABCD，
BE⊂平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°.
故二面角A—BE—P的大小是60°.
5．证明　在平面PAB内，作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，
∴BC⊥AB.
6．AB
7．证明　(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又由于BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.