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课时提升作业(四十二)
一、选择题
1.(2021·济南模拟)过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=( )
(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-
2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
(A)[-,] (B)[-2,2]
(C)[-1,1] (D)[-4,4]
3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为( )
(A)1 (B) (C)2 (D)2
4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
5.(力气挑战题)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1
6.(2021·河池模拟)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是
( )
(A)(0,+∞) (B)(,+∞)
(C)(,+∞) (D)(,+∞)
二、填空题
7.(2021·南宁模拟)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若<k<,则椭圆离心率的取值范围为 .
8.设连接双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则的最大值为 .
9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则的值为 .
三、解答题
10.(2021·广州模拟)如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,离心率为,若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.
11.(力气挑战题)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,a2与b2的等差中项为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)A,B是椭圆E上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(t,0),求实数t的取值范围.
12.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.
(1)求椭圆C1的方程.
(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上确定点.
13.(2021·成都模拟)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,若椭圆C的一个焦点为F2(,0),其短轴上的一个端点到F2的距离为.
(1)求椭圆C及其“伴随圆”的方程.
(2)若过点P(0,m)(m<0)的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2,求m的值.
(3)过椭圆C“伴随圆”上一动点Q作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,试推断直线l1,l2的斜率之积是否为定值,并说明理由.
答案解析
1.【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为F(0,),取直线y=,则其与y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)·()=-.
【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧
解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探究其值即可.
2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.
3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,·2c·b=1,
∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.
∴a≥.∴长轴的最小值为2.
4.【解析】选C.设P(x0,y0),则+=1即=3-,又∵F(-1,0),
∴·=x0·(x0+1)+=+x0+3
=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],
∴(·)∈[2,6],所以(·)max=6.
5.【思路点拨】画出图象,通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,依据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.
【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,
∴d1=|PF|-1,
d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min==.
∴(d1+d2)min=-1.
6.【解析】选B.由题意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;
e1====.
∵三角形两边之和大于第三边,2c+2c>10,即c>,
∴e1·e2==>,因此选B.
7.【解析】由题意知:B(c,),
∴k===1-e.
又<k<,∴<1-e<,解得<e<.
答案:(,)
8.【思路点拨】将用a,b表示,利用基本不等式求最值.
【解析】S1=·2a·2b=2ab,S2=·2·
2=2(a2+b2),=(a>0,b>0),
∴=≤(当且仅当a=b时取等号).
答案:
9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,
由=2px1,=2px0,得kPA==,
同理kPB=,
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),
那么=-2.
答案:-2
10.【解析】(1)依题意有⇒
故椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).
将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐标为(-,-+1),
即(-,),
将上式中的k换成-,得Q(,).
直线l的方程为y=(x-)+,
化简得直线l的方程为y=x-,
因此直线l过定点N(0,-).
11.【解析】(1)由题意得
解得:.即椭圆E的方程为+=1.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因线段AB的垂直平分线与x轴相交,
故AB不平行于y轴,即x1≠x2.
又交点为P(t,0),故|PA|=|PB|,
即(x1-t)2+=(x2-t)2+,
∴t=+ ①
∵A,B在椭圆上,∴=4-,=4-.
将上式代入①,得t=.
又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,
∴-6<x1+x2<6,则-<t<,
即实数t的取值范围是(-,).
【一题多解】(1)同原题.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.
(ⅰ)若y1=y2,则线段AB的垂直平分线方程为x=0,
即t=0.
(ⅱ)若y1≠y2,则线段AB的垂直平分线方程为
y-=-(x-).
∵P(t,0)在直线上,∴t=+ ①
∵A,B在椭圆上,∴=4-,=4-.
将上式代入①,得t=.
又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,
∴-6<x1+x2<6,则-<t<.
综合(ⅰ)(ⅱ)得实数t的取值范围是(-,).
12.【思路点拨】(1)依据抛物线的方程,求出其焦点坐标,然后求出椭圆的焦点坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.
(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,利用此方程恒成立求解.
【解析】(1)∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),
∴点F2的坐标为(1,0).
∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),
抛物线C2的准线方程为x=-1.
设点P的坐标为(x1,y1),
由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,
∵|PF2|=,
∴x1+1=,解得x1=.
由=4x1=,且y1>0,得y1=.
∴点P的坐标为(,).
在椭圆C1:+=1(a>b>0)中,c=1.
2a=|PF1|+|PF2|=+=4,
∴a=2,b==,
∴椭圆C1的方程为+=1.
(2)设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,
∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,
∴|MN|=2=4,
∴r=,
∴圆C3的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),
∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,
∴=4x0(x0≥0),
∴x0=.
把x0=代入(*)消去x0整理得:(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)
方程(**)对任意实数y0恒成立,
∴
解得
∵点(2,0)在椭圆C1:+=1上,
∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上确定点(2,0).
13.【解析】(1)由题意得:a=,半焦距c=,则b=1,椭圆C方程为+y2=1,
“伴随圆”方程为x2+y2=4.
(2)设过点P且与椭圆有一个交点的直线为:y=kx+m.
则
整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①.
又由于直线截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2,
则有2=2,化简得m2=2(k2+1)②.
联立①②解得:k2=1,m2=4,所以k=±1,m=-2
(∵m<0).
(3)当l1,l2都有斜率时,设点Q(x0,y0),其中+=4,
设经过点Q(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0
由消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0,
即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,
Δ=[6k(y0-kx0)]2-4·(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,
经过化简得到:(3-)k2+2x0y0k+1-=0,
由于+=4,所以有(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为k1,k2,由于l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2满足方程(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,因而k1k2=-1,即直线l1,l2的斜率之积为定值-1.
【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
(1)求椭圆G的标准方程.
(2)已知直线l1:y=kx+m1与椭圆G交于A,B两点,直线l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|,如图所示.
①证明:m1+m2=0;
②求四边形ABCD的面积S的最大值.
【解析】(1)设椭圆G的标准方程为+=1(a>b>0).
由于F1(-1,0),∠PF1O=45°,所以b=c=1.
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆G的标准方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①由消去y得:(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0.
则Δ=8(2k2-+1)>0,
所以|AB|=
=
=
=2.
同理|CD|=2.
由于|AB|=|CD|,
所以2
=2.
由于m1≠m2,所以m1+m2=0.
②由题意得四边形ABCD是平行四边形,设两平行线AB,CD间的距离为d,则d=.
由于m1+m2=0,所以d=.
所以S=|AB|·d=2·=4
≤4=2.
当且仅当2k2+1=2时,四边形ABCD的面积S取得最大值为2.
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