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双基限时练(十三)
1．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，x＝a，x＝b和x轴围成的曲边梯形的面积S等于( )
A.f(x)dx， B．－f(x)dx
C.[f(x)－a]dx D.[f(x)－b]dx
答案 B
2．如图，阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)－g(x)]dx
D. [f(x)＋g(x)]dx
解析 阴影部分的面积
S＝f(x)dx＋|g(x)dx|
＝f(x)dx－g(x)dx
＝[f(x)－g(x)]dx.
答案 C
3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
A.－1(x－x3)dx B.－1(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx D．2－1(x－x3)dx
解析 由得交点A(－1，－1)，B(0,0)，C(1,1)，如下图所示．
∴阴影部分的面积为S＝2(x－x3)dx.
答案 C
4．曲线y＝cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围成的面积为( )
A．2 B．3
C. D．4
解析 利用函数y＝cosx在0≤x≤的图知，所求面积为S＝3∫0cosxdx＝3(sinx)0＝3.
答案 B
5．如图阴影部分面积为( )
A. 2 B. 9－2
C. D.
解析 S＝－3(3－x2－2x)dx
＝(3x－x3－x2)
＝＋9＝.
答案 C
6．f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1
C. 2 D.
解析 依据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为
S＝×1×1＋∫0cosxdx
＝＋sinx0＝.
答案 A
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成图形的面积为________．
解析 示意图如图所示，
所求面积为S＝(x－)dx＝(x2－lnx)＝－ln2.
答案 －ln2
8．设函数f(x)＝3x2＋c，若f(x)dx＝5，则实数c的值为________．
解析 ∵f(x)dx＝(3x2＋c)dx
＝(x3＋cx)＝1＋c＝5，
∴c＝4.
答案 4
9．设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析 依题意得，由y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.
答案
10．求正弦曲线y＝ sinx，x∈[0，]和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积．
解 如图，当x∈[0，π]时，曲线
y＝ sinx位于x轴上方，而当x∈[π，]时，曲线位于x轴下方，因此所求面积应为两部分面积之和．
∴S＝ sinxdx＋|∫π sinxdx|
＝ sinxdx－∫π sinxdx
＝－cosx＋cosxππ
＝2＋1＝3.
11．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，抛物线与x轴所围成的面积S＝(x－x2)dx＝＝.
抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为0和1－k，
∴S＝∫(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3＝.
∴(1－k)3＝，k＝1－＝1－.
12．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值．
解 由定积分与微积分基本定理得S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝(t2x－x3)＋＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)．
S′＝4t2－2t＝2t(2t－1)．
当0<t<时，S′<0；当<t<2时S′>0，
∴当t＝时，S有最小值Smin＝.
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