辽宁省沈阳二中2022届高三上学期期中考试-数学(理)-Word版含答案.docx

沈阳二中2021—2022学年度上学期期中考试
高三（16届）数学（理科）试题
命题人：高三数学组 审校人：高三数学组
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分.
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1.数列2,5,11,20,,47,…中,的值等于(　　 )
A.28 B.32 C.33 D.27
2.已知集合，，若,则实数的全部可能取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
4．设，，，则( )
A． B． C． D．

5. 下列叙述中，正确的个数是（ ）
①命题：“”的否定形式为：“”；
②O是△ABC所在平面上一点，若，则O是△ABC的垂心；
③“M＞N”是“”的充分不必要条件；
④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．
A.1 B.2 C.3 D.4

6.四周体SABC的各棱长都相等，假如E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

7. 已知是等差数列的前项和，若，则 ( )
A． B． C． D．
8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
（第8题图）

9.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则( )
A. B.
（第9题图）
C. D.

10.定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的全部零点之和为( )
A． B． C． D．

11．如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为( )
（第11题图）
A. B. C. D.

12．已知，对，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．由直线， ，与曲线所围成的图形的面积等于 .

14．已知变量满足,则的取值范围是 ．

Q
15．如图，在棱柱的侧棱上各有
B
P
一个动点，且满足，是棱上的动点，
M
A
C
（第15题图）
则的最大值是 ．

16．设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒成立，则实数的最大值为 .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）已知函数()．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）内角的对边长分别为，若 且试求B和C.

18. （本小题满分12分）设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.

P
A
B
C
D
E
（第19题图）
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC//平面BDE；
（Ⅱ）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

20．（本小题满分12分）“水资源与永恒进展”是2021年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，打算安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后接受净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
(Ⅰ) 试解释 的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；
(Ⅱ) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

21．（本小题满分12分）设函数的图象在点
处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.

22．（本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，方程有实根，求实数的最大值.

沈阳二中2021—2022学年度上学期期中考试 高三（16届）数学（理科）试题
参考答案及评分标准

1-5：BDCAC 6-10：CABCB 11-12：CA
13.3 14. 15. 16.
17．解：（Ⅰ）∵…2分
　∴故函数的递增区间为(Z) ………………4分
（Ⅱ），∴．
∵，∴，∴，即． ………6分
由正弦定理得：，∴，
∵，∴或．………8分
当时，；当时，．（舍）所以,. …………10分

18.解：（Ⅰ）由于，所以有成立.
两式相减得：. …………1分
所以，即. …………3分
所以数列是以为首项，公比为的等比数列. ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即.
则. ……………7分
设数列的前项和为,
则，
所以，
所以，
即. ……………11分
所以数列的前项和=，
整理得，.……………12分

19．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
由于ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．……………………………………………2分
由于E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．………………………………………………4分
由于PC平面BDE，OEÌ平面BDE，所以PC //平面BDE．……………………………6分
P
A
B
C
D
E
O
（2）由于E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．……………………………………8分
由于PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．
由于OEÌ平面BDE，DEÌ平面BDE，OE∩DE＝E，
所以PA⊥平面BDE．………………………………10分
由于PAÌ平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．……………12分

20. (Ⅰ) 表示担忧装设备时每年缴纳的水费为4万元 …………2分
，；…………3分
（x≥0）﹒…………5分
(Ⅱ) …………8分
当时，即时有最小值，最小值为 …………11分
当x为15平方米时，y取得最小值7万元 …………12分

21.（Ⅰ）解：由已知得：. …………1分
由为偶函数，有. …………2分
又，所以，即. …………3分
由于对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立. 当时，不符合题意. …………4分
当时， ，得.
所以. ……………6分
（Ⅱ）证明：，所以.
由于,…………10分
所以…11分
所以成立…………12分

22. 解：（Ⅰ）．……1分
由于为的极值点，所以． 即，解得．……2分
又当时，，从而为的极值点成立．…………3分
（Ⅱ）由于在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．………4分
①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．…………………………………………5分
②当时，由函数的定义域可知，必需有对恒成立，故只能，
所以在上恒成立． ………………6分
令，其对称轴为，
由于所以，从而在上恒成立，只要即可，
由于，
解得．………………………………7分
由于，所以．
综上所述，的取值范围为．………………………8分
（Ⅲ）若时，方程可化为．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．…………………………9分
由于，令，
则，…………………………10分
所以当时，从而在上为增函数，
当时，从而在上为减函数，……………11分
因此．而，故，
因此当时，取得最大值0．…………………………………12分