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2021年陕西省西安一中高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：（每小题5分，共50分）
1．（5分）（2022•齐齐哈尔三模）若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（ ）
A． 0 B． 1 C． ﹣1 D． 0或1
【考点】： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】： 计算题．
【分析】： 利用两个复数代数形式的除法法则化简z为（x2﹣x）﹣xi，再由z为纯虚数，可得，由此求得x的值．
【解答】： 解：∵===（x2﹣x）﹣xi，
又z为纯虚数，
则有 ，故x=1，
故选 B．
【点评】： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，属于基础题．
2．（5分）（2007•广东）已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A． {x|x＞﹣1} B． {x|x＜1} C． {x|﹣1＜x＜1} D． ∅
【考点】： 交集及其运算；函数的定义域及其求法．
【分析】： 依据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．
【解答】： 解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，
∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，
和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，
∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．
故选C．
【点评】： 本题属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．
3．（5分）（2011•福建模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则数列{log2an}的前7项和等于（ ）
A． 7 B． 8 C． 27 D． 28
【考点】： 等差数列的前n项和；等比数列的性质．
【专题】： 计算题．
【分析】： 依据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2an}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2an}的前7项和．
【解答】： 解：由a3a5=a42=4，又等比数列{an}的各项均为正数，
∴a4=2，
则数列{log2an}的前7项和S7=++…+====7．
故选A
【点评】： 此题考查同学机敏运用等比数列的性质化简求值，把握对数的运算性质，是一道基础题．
4．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的对边，若a，b，c成等比数列，A=60°，=（ ）
A． B． 1 C． D．
【考点】： 正弦定理；等比数列的性质．
【专题】： 计算题．
【分析】： a，b，c成等比数列 可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=
【解答】： 解：∵a，b，c成等比数列∴b2=ac
由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=
=
故选D
【点评】： 本题主要考查了利用正弦定理进行解三角形，属于基础试题，难度不大．
5．（5分）（2011•湘西州一模）如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（ ）（不考虑接触点）
A． B． C． D． 32+π
【考点】： 由三视图求面积、体积．
【专题】： 计算题．
【分析】： 由三视图可以看出，此几何体由一个半径为1的球体与一底面连长为2的直三棱柱所组成，故其表面积为球体的表面积加上直三棱柱的表面积．
【解答】： 解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为π
下部为始终三棱柱，其高为3，底面为一边长为2的正三角形，且题 中已给出此三角形的高为
故三棱柱的侧面积为3×（2+2+2）=18，由于不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，
上底面的面积为×2×=
故组合体的表面积为
故选C
【点评】： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再依据相关的公式求表面积与体积，本题求的是表面积．三视图的投影规章是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．
6．（5分）已知图象不间断函数f（x）是区间[a，b]上的单调函数，且在区间（a，b）上存在零点．上图是用二分法求方程f（x）=0近似解的程序框图，推断框内可以填写的内容有如下四个选择：
①f（a）f（m）＜0，
②f（a）f（m）＞0，
③f（b）f（m）＜0，
④f（b）f（m）＞0，
其中能够正确求出近似解的是（ ）
A． ①④ B． ②③ C． ①③ D． ②④
【考点】： 程序框图．
【专题】： 函数的性质及应用；算法和程序框图．
【分析】： 由零点的判定定理知，推断框可以填写f（a）f（m）＜0或f（m）f（b）＞0，由此可得答案．
【解答】： 解：由二分法求方程f（x）=0近似解的流程知：
当满足f（a）f（m）＜0时，令b=m；否则令a=m；故①正确，②错误；
当满足f（m）f（b）＞0时，令a=m；否则令b=m；故④正确，③错误．
故选：A．
【点评】： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．（5分）（2010•宁夏）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 函数的图象．
【分析】： 本题的求解可以利用排解法，依据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．
【解答】： 解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排解答案A，D，
再依据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排解答案B，
故应选C．
【点评】： 本题主要考查了函数的图象，以及排解法的应用和数形结合的思想，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）= 若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C． （﹣1，2） D． （﹣2，1）
【考点】： 函数单调性的性质．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用．
【分析】： 由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．
【解答】： 解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选D
【点评】： 本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等学问，属于基础题．
9．（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 双曲线的简洁性质．
【专题】： 计算题．
【分析】： 依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的其次定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．
【解答】： 解：∵双曲线的方程为﹣=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x﹣5．
由得：7x2+90x﹣369=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x﹣369=0的两根，
∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，
∴线段PQ的中点N（﹣，﹣），
∴PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x+），
令y=0得：x=﹣．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+=．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x﹣5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的其次定义得：==e==，
∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，
同理可得|QF|=3﹣x2；
∴|PQ|=|QF|﹣|PF|
=3﹣x2﹣（x1﹣3）
=6﹣（x1+x2）
=6﹣×（﹣）
=．②
∴==．
故选B．
【点评】： 本题考查双曲线的其次定义的应用，考查直线与圆锥曲线的相交问题，考查韦达定理的应用与直线方程的求法，综合性强，难度大，属于难题．
10．（5分）（2021•肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0=a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．
函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
【考点】： 进行简洁的合情推理；函数的值域．
【专题】： 计算题；新定义．
【分析】： 依据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．
【解答】： 解：依据题意，得
f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x•）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+
即f（x）=1+x+
∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立
∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3
故选：B
【点评】： 本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简洁的合情推理等学问，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．（3分）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率 1﹣ ．
【考点】： 几何概型．
【专题】： 计算题．
【分析】： 本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．
【解答】： 解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：
×13=，
∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：
v=V正方体﹣=8﹣
取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：
P==1﹣．
故答案为：1﹣．
【点评】： 本小题主要考查几何概型、球的体积公式、正方体的体积公式等基础学问，考查运算求解力量，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．
12．（3分）（2007•山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是 4 ．
【考点】： 简洁线性规划的应用；点到直线的距离公式．
【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 首先依据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．
【解答】： 解：如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，
由点到直线的距离公式得：
d==4，
则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于 4，
故答案为：4．
【点评】： 本题主要考查了简洁的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．奇妙识别目标函数的几何意义是我们争辩规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延长，使得规划问题得以深化．
13．（3分）在△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．依据以上状况，猜想在凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是 ．
【考点】： 归纳推理．
【专题】： 综合题．
【分析】： 依据已知中△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．观看分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．
【解答】： 解：由已知中已知的多边形角的倒数所满足的不等式：
△ABC中，不等式成立；
凸四边形ABCD中，不等式成立；
凸五边形ABCDE中，不等式成立；
…
由此推断凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是：
故答案为：
【点评】： 本题考查的学问点是归纳推理，其中依据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．
14．（3分）下列说法中，正确的有 ① （把全部正确的序号都填上）．
①“∃x∈R，使2x＞3”的否定是“∀x∈R，使2x≤3”；
②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题；
④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个．
【考点】： 命题的真假推断与应用．
【专题】： 简易规律．
【分析】： 写出原命题的否定，可推断①；利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式，进而求出周期可推断②；写出原命题的否定，可推断③；确定函数f（x）=2x﹣x2的零点个数，可推断④．
【解答】： 解：对于①“∃x∈R，使2x＞3“的否定是“∀x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确；
对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期T==，所以②不正确；
对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值，明显不正确．利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题；所以③不正确；
对于④，由题意可知：要争辩函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需争辩函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，
由图象可得有3个交点．所以④不正确；
故正确的命题只有：①，
故答案为：①
【点评】： 本题考查了命题的真假推断与应用，考查了特称命题的否定，函数的周期性，取最值的条件，函数零点等学问点，难度中档．
三、【不等式选做题】（留意：请在下列三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分）
15．（13分）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，1）∪{3} ．
【考点】： 确定值不等式的解法．
【专题】： 计算题；不等式的解法及应用．
【分析】： 不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，转化为a+小于等于函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，依据确定值不等式的几何意义可知函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题．
【解答】： 解：令y=|x+2|+|x﹣3|，
由确定值不等式的几何意义可知
函数y=|x+2|+|x﹣3|的最小值为5，
∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+对任意的实数x恒成立，
∴原不等式可化为a+≤5，
解得a=3或a＜1，
故答案为：（﹣∞，1）∪{3}．
【点评】： 考查确定值不等式的几何意义，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属中档题．
四、【几何证明选做题】（共1小题，满分0分）
16．如图所示，在圆的直径AB的延长线上任取一点C，过点C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于点E，则∠CED 45° ．
【考点】： 弦切角．
【专题】： 立体几何．
【分析】： 首先依据圆的切线，连接半径后得到直角三角形，进一步利用三角形的外角等于不相邻的内角的和，及角平分线学问求出结果．
【解答】： 解：连接OD，由于CD是⊙O的切线，
所以：∠DOC+∠DCO=90°，
∠DOC是△AOD的外角，
所以：∠DOC=2∠A；
又CE是∠DCA的角平分线，
所以：∠DCE=∠ACE=∠DCA，
∠CED=∠A+∠ECA=（∠DOC+∠DCO）=45°，
故答案为：45°．
【点评】： 本题考查的学问要点：三角形的外角的应用，切线的应用，属于基础题型．
五、【坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）
17．在极坐标系中，以点（1，0）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2cosθ ．
【考点】： 简洁曲线的极坐标方程．
【专题】： 坐标系和参数方程．
【分析】： 以点（1，0）为圆心，1为半径的圆为（x﹣1）2+y2=1，把代入即可得出．
【解答】： 解：以点（1，0）为圆心，1为半径的圆为（x﹣1）2+y2=1，
把代入可得ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
故答案为：ρ=2cosθ．
【点评】： 本题考查了直角坐标化为极坐标方程，属于基础题．
三、解答题：
18．（12分）如图，A、B是单位圆O上的点，C、D分别是圆O与x轴的两个交点，△ABO为正三角形．
（1）若点A的坐标为，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值．
【考点】： 在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程．
【专题】： 计算题．
【分析】： （1）依据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进而利用两角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而依据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．
【解答】： 解：（1）∵△ABO为正三角形
∴∠BOA=60°
∵点A的坐标为
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=；
（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（﹣），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜
∴当x=时，ymax=5
【点评】： 本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了同学分析问题和解决问题的力量．
19．（12分）已知数列{an}满足：a1=0且=1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn=（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1．
【考点】： 数列递推式．
【专题】： 等差数列与等比数列．
【分析】： （1）依据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求{an}的通项公式；
（2）求出数列{bn}的通项公式，利用裂项法进行求和．
【解答】： 解：（1）∵=1．
∴{}是公差为1的等差数列，
又，
则=1+n﹣1=n，
故an=1﹣．
（2）由（1）得bn===，
则Sn=b1+b2+…+bn=1﹣=1﹣＜1．
【点评】： 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用构造法以及裂项法是解决本题的关键．
20．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师接受A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改试验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名同学的成果进行统计，作出茎叶图如下，计成果不低于90分者为“成果优秀”．
（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成果中随机抽取2个，求抽出的两个均“成果优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并推断是否有90%的把握认为“成果优秀”与教学方式有关．
甲班（A方式） 乙班（B方式） 总计
成果优秀
成果不优秀
总计
附：K2=
P（（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【考点】： 独立性检验的应用．
【专题】： 计算题；概率与统计．
【分析】： （1）利用列举法确定基本大事的个数，由此能求出抽出的两个均“成果优秀”的概率；
（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K2≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成果优秀”与教学方式有关．
【解答】： 解：（1）设“抽出的两个均“成果优秀”“为大事A．
从不低于86分的成果中随机抽取2个的基本大事为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，（4分）
而大事A包含基本大事：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个． （6分）
所以所求概率为P（A）== （7分）
（2）由已知数据得：
甲班（A方式） 乙班（B方式） 总计
成果优秀 1 5 6
成果不优秀 19 15 34
总计 20 20 40
（9分）
依据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706
所以有90%的把握认为“成果优秀”与教学方式有关． （12分）
【点评】： 本题考查古典概型概率的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题．
21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC=1，AA1=．
（1）求证：BC1∥平面A1DC；
（2）求三棱锥D﹣A1B1C 的体积．
【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： （1）连接AC1，交A1C于点O，连结OD，由已知得OD∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1DC．
（2）由已知得AB⊥CD，从而CD⊥平面ABB1A1，进而CD⊥平面DB1A1，由此能求出三棱锥D﹣A1B1C 的体积．
【解答】： （1）证明：连接AC1，交A1C于点O，连结OD，
∵ACC1A1是平行四边形，∴O为AC1中点，D为AB的中点，
∴OD∥BC1，OD=BC1，BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1DC．（6分）
（2）解：正△ABC中，∵D为AB的中点，∴AB⊥CD，
又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1，
∴CD⊥平面DB1A1，（8分）
∵CD=，=，（9分）
∴====．（12分）
【点评】： 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要留意空间思维力量的培育．
22．（13分）（2010•沈阳一模）已知圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=，椭圆C2的方程为，其离心率为，假如C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径．
（Ⅰ）求直线AB的方程和椭圆C2的方程；
（Ⅱ）假如椭圆C2的左右焦点分别是F1、F2，椭圆上是否存在点P，使得，假如存在，恳求点P的坐标，假如不存在，请说明理由．
【考点】： 圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．
【专题】： 计算题．
【分析】： （Ⅰ）先分析得出若直线AB斜率存在，所以可设AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得b值，从而求出所求椭圆方程；
（Ⅱ）先依据F1，F2的中点是原点O，得出与共线，再依据直线AB的方程写出直线PO所在的直线方程，最终与椭圆的方程联立方程组即可解得P点坐标．
【解答】： 解：（Ⅰ）若直线AB斜率不存在，则直线AB的方程为x=4，由椭圆的对称性可知，A，B两点关于x轴对称，A，B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆C1的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）冲突，
因此直线AB斜率存在，（1分）
所以可设AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4），且设A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵，∴
设椭圆方程，（2分）
将AB直线方程为y﹣1=k（x﹣4）代入到椭圆方程得，
即（1+4k2）x2﹣8k（4k﹣1）x+4（4k﹣1）2﹣4b2=0（1），（4分）
，
解得k=﹣1，
故直线AB的方程为y=﹣x+5，（6分）
将k=﹣1代入方程（1）得5x2﹣40x+100﹣4b2=0．x1+x2=8，，△＞0，得b2＞5．（7分）
|AB|=，得，解得b2=9．
故所求椭圆方程为．（8分）
（Ⅱ）由于F1，F2的中点是原点O，
所以，所以与共线，（10分），
而直线AB的方程为y=﹣x+5，
所以直线PO所在的直线方程为y=﹣x．
∴，或．
所以P点坐标为，．（12分）
【点评】： 本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、直线的一般式方程、椭圆的标准方程等基础学问，考查运算求解力量、转化思想．属于基础题．
23．（14分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）
（1）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；
（2）a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的极值．
【专题】： 导数的综合应用．
【分析】： （1）要使函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[﹣1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=﹣a或x=不在区间[﹣1，1]上；
（2）a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m的取值范围；
（3）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[﹣2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．
【解答】： 解：（1）∵f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0），∴f′（x）=3x2+2ax﹣a2，
∵f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，∴方程f′（x）=3x2+2ax﹣a2=0在[﹣1，1]上没有实数根，
由△=4a2﹣12×（﹣a2）=16a2＞0，二次函数对称轴x=﹣＜0，
当f′（x）=0时，即（3x﹣a）（x+a）=0，解得x=﹣a或x=，
∴，或＜﹣1（a＜﹣3不合题意，舍去），解得a＞3，
∴a的取值范围是{a|a＞3}；
（2）当a=1时，f（x）=x3+x2﹣x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x3+x2﹣x+m=0，即m=﹣x3﹣x2+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=﹣x3﹣x2+x，则g′（x）=﹣（3x﹣1）（x+1）
令g′（x）＞0，解得﹣1＜x＜；令g′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）和（ ，+∞）上为减函数，在（﹣1，）上为增函数，
∴g（x）微小=g（﹣1）=﹣1，g（x）极大=g（ ）=；
∴m的取值范围是（﹣1， ）；
（3）∵f′（x）=0时，x=﹣a或x=，
且a∈[3，6]时，∈[1，2]，﹣a∈（﹣∞，﹣3]；
又x∈[﹣2，2]，∴f′（x）在[﹣2，）上小于0，f（x）是减函数；
f′（x）在（，2]上大于0，f（x）是增函数；
∴f（x）max=max{f（﹣2），f（2）}，
而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a2＜0，
∴f（x）max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a2+m，
又∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立，
∴f（x）max≤1，即﹣8+4a+2a2+m≤1，
即m≤9﹣4a﹣2a2，在a∈[3，6]上恒成立
∵9﹣4a﹣2a2在a∈[3，6]上是减函数，最小值为﹣87
∴m≤﹣87，
∴m的取值范围是{m|m≤﹣87}．
【点评】： 本题主要考查了利用导数争辩函数的单调性与极值、最值，以及不等式恒成立的问题，属于难题．
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