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第十九周数学综合练习
一、选择题(每题5分，共50分)
1．若复数z满足（是虚数单位），则z ＝（ ）
A． B． C． D．
2. 函数在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
4．对于……大前提
……小前提
所以……结论
以上推理过程中的错误为（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．无错误
5. 已知函数在处有极值10，则等于（ ）
A.11或18 B.11 C.18 D.17或18
6. 已知（为常数）在上有最大值，那么此函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.函数有极值的充要条件是 （ ）
A． B． C． D．
8. 双曲线的虚轴长等于( )
A. B．-2t C． D．4
9. 函数的最大值为( )
A. B． C． D．
10. 过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每题5分，共25分)
11. 已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 ．
12. 曲线在点处的切线方程为 ．
13. 已知既有极大值又有微小值，则的取值范围为 ．
14. 设,, 若对一切恒成立,则的取值范围为 ．
15. 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，假如降低价格，销售量增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值(单位：元，)的平方成正比，已知商品单价降低2元是，一星期多卖出24件，当定价为 元时，才能使一个星期的销售利润最大.
三、解答题(解答题应写出必要的文字说明、演算步骤、推理过程)
16.求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
17. (1) 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，且，，求；
(2) 已知复数为纯虚数，求实数的值.
18． 已知函数图象上的点处的切线方程为，函数是奇函数．
（1）求函数的表达式；
（2）求函数的极值.
19. 已知函数，
(1) 求在点处的切线方程；
(2) 证明: 曲线与曲线有唯一公共点；
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
21. 已知函数的减区间是
（1）试求的值；
（2）求过点且与曲线相切的切线方程；
（3）过点，是否存在与曲线相切的3条切线，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
第十九周数学综合练习参考答案
一、选择题
ACCBC ABCAD
二、填空题
11. 7 12. 13.
14. 15. 18
三、解答题
16. 解： (1)
(2)
(3)
18． 解:(1) ，
函数在处的切线斜率为-3，
∴，即，
又得,
又函数是奇函数，∴ ∴，
∴．
（2），令得或，
-
递减
微小
递增
极大
递减
∴
19. (1) ，则，
点处的切线方程为：,
(2) 令 ，，
则，，且，，
因此，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以在上单调递增，
又，即函数有唯一零点，
所以曲线与曲线有唯一公共点.
20. (1)由于椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，
所以c＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程＋＝1，
得＝1，即b＝1.
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率明显存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
由于直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.
整理，得2k2－m2＋1＝0， ①
由消y，得
k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
∵直线l与抛物线C2相切，
∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1， ②
联立①、②，得或
∴l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
21.解：⑴m=1，n=0．
⑵ ∵，∴，
∵
当A为切点时，切线的斜率 ，
∴切线为，即；
当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，
切线方程为，即
由于过点A（1，-11）， ，
∴，
∴ 或，而为A点，即另一个切点为，
∴ ，
切线方程为 ，即
所以，过点的切线为或．
⑶ 存在满足条件的三条切线．
设点是曲线的切点，
则在P点处的切线的方程为 即
由于其过点A（1，t），所以，，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，
设，只要使曲线有3个零点即可．
设 =0， ∴ 分别为的极值点，
当时，在和 上单增，
当时，在上单减，
所以，为极大值点，为微小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得 .
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