2021高中数学北师大版选修2-3学案：《二项式系数的应用》.docx

第 10 课时 二项式系数的应用 1.娴熟把握二项开放式的通项公式.2.留意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用.3.理解二项式系数的性质.观看下面的三角形相邻两行数:请依据上述规律写出下一行的数值.问题 1:从上述杨辉三角中你发觉的规律是对称性,二项式系数有哪些性质?(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 .(2)增减性与最大值:二项式系数C,当r+12时,二项式系数是递减的.当n是偶数时,中间一项的二项式系数 取得最大值.当n是奇数时,中间两项 和 相等,且同时取得最大值.(3)(a+b)n的开放式的各个二项式系数的和等于 2n,即 .(4)二项开放式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 .问题 2:二项式系数与开放式项的系数的异同 在Tr+1=Can-rbr中,C就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关,而Tr+1项的系数是指化简后字母外的数.问题 3:二项式定理的应用(1)通项的应用:利用二项开放式的通项可求 等.(2)开放式的应用:利用开放式可证明与二项式系数有关的等式;可证明不等式;可证明整除问题;可做近似计算等.问题 4:二项式系数与项的系数不同,在求某几项的系数的和时留意 法的应用.1.若(x+1)n开放式的二项式系数之和为 64,则开放式的常数项为().A.10 B.20 C.30 D.120 2.设(1+x)n=a0+a1x+anxn,若a1+a2+an=63,则开放式中系数最大的项是().A.15x2 B.20 x3 C.21x3 D.35x3 3.(1+x)3(1+1)3的开放式中1的系数是 .4.若等式x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5对一切xR 都成立,其中a0,a1,a2,a5为实常数,求a4的值.赋值法求开放式各项系数的和 已知(3x-1)7=a0 x7+a1x6+a6x+a7,求a0+a1+a2+a6+a7的值.用二项式定理求三项式的开放式的项(2+1+2)5的开放式整理后的常数项为 .与二项式定理中开放式系数有关的综合题 已知(1+2x)n的开放式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求开放式中系数最大的项.已知(3x-1)7=a0 x7+a1x6+a6x+a7,求a1+a3+a5+a7的值.求(x+1-2)5开放式中的常数项.已知(1+2x)n的开放式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求(1-2x)n开放式中系数最大项.1.(1-x)9的开放式中,系数最大的项是().A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 6 项 D.第 5 项和第 6 项 2.(2x-1)10的开放式中x的奇次幂项的系数之和为().A.1+3102 B.1-3102 C.310-12 D.-1+3102 3.在(x2+3x+2)5的开放式中,x的系数为 .4.设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,当a0+a1+a2+an=254 时,求n的值.(2022 年 浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的开放式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=().A.45 B.60 C.120 D.210 考题变式(我来改编):二项式 定理 赋值法杨辉三角 二项式系数的性质 对称性 C=C-增减性与最大值 当+12时,二项式系数是渐渐增大的,由对称性知它的后半部分是渐渐减小的,且最大二项式系数在中间.若 n 为偶数,中间一项(第2+1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间两项(第-12+1 和+12+1 项)的二项式系数最大二项式系数的和 C0+C1+C2+C=2奇数项各二项式系数和 C0+C2+C4+C=2-1偶数项各二项式系数和 C1+C3+C5+C-1=2-1全部项系数和 赋值法 第 10 课时 二项式系数的应用 学问体系梳理 问题 1:(1)C=C-(2)C 2 C-12 C+12(3)C0+C1+C2+C+C=2n(4)C1+C3+C5+=C0+C2+C4+=2n-1 问题 3:(1)指定的项或指定项的系数 问题 4:赋值 基础学习沟通 1.B 令x=1,有 2n=64n=6,Tr+1=C6x6-rx-r=C6x6-2r,令 6-2r=0,得r=3,T4=C63=20.2.B 令x=0,可得a0=1.令x=1,则(1+1)n=C0+C1+C=64,n=6.故(1+x)6的开放式中最大项为T4=C63x3=20 x3,选 B.3.15 利用二项式定理得(1+x)3(1+1)3的开放式的各项为C3xrC3x-n=C3C3xr-n,令r-n=-1,故可得开放式中含1项的是C30C31+C31C32+C32C33=15,即(1+x)3(1+1)3的开放式中1的系数是 15.4.解:x5=(1+x)-15=C50(1+x)5(-1)0+C51(1+x)4(-1)1+C52(1+x)3(-1)2+C53(1+x)2(-1)3+C54(1+x)(-1)4+C55(-1)5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a3(1+x)3+a4(1+x)4+a5(1+x)5,所以a4=-C51=-5.重点难点探究 探究一:【解析】令x=1 得a0+a1+a2+a7=27.【小结】依据二项式定理是一个恒等式,在这个恒等式中给定字母一些特殊的值可以求出各项系数和、差等问题,这就是赋值法,其依据就是恒等式对字母取任意值恒成立,当然对特殊值也成立,这个方法体现了一般与特殊的数学思想方法.探究二:【解析】(法一)(2+1+2)5=(2+1)+25,通项公式Tk+1=C522(2+1)5-k,(2+1)5-k的通项公式为Tr+1=C5-x-rx5-k-r2-(5-k-r)=C5-x5-2r-k2k+r-5,令 5-2r-k=0,则k+2r=5,可得k=1,r=2 或k=3,r=1 或k=5,r=0.当k=1,r=2 时,得开放式中项为C51C422122-2=1522;当k=3,r=1 时,得开放式中项为C53C2122 2-1=202;当k=5,r=0 时,得开放式中项为C5542=42.综上,(2+1+2)5的开放式整理后的常数项为1522+202+42=6322.(法二)(2+1+2)5=(2+22x+22)5=(+2)25(2)5=(+2)10(2)5,在二项式(x+2)10中,Tr+1=C10 x10-r(2)r,要得到常数项需10-r=5,即r=5.所以,常数项为C105(2)525=6322.【小结】法一、法二的共同特点是利用转化思想,把三项式转化为二项式来解决.探究三:【解析】T6=C5(2x)5,T7=C6(2x)6,依题意有C525=C626,解得n=8,(1+2x)8的开放式中,二项式系数最大的项为T5=C84(2x)4=1120 x4.问题二项式的项的系数就是二项式系数吗?结论不是,二项式系数只与二项式中的幂指数有关,而项的系数除了和二项式中的幂指数有关外,还与a和b的系数有关,求项的系数应利用通项公式求解.正确解答如下:T6=C5(2x)5,T7=C6(2x)6,依题意有C525=C626,解得n=8,(1+2x)8的开放式中,设第r+1 项的系数最大,则有C82 C8-12-1,C82 C8+12+1,即8!(8-)!28!(-1)!(8-+1)!2-1,8!(8-)!28!(+1)!(8-1)!2+1,化简得219-,18-2+1,化简得 5r6,r=5 或r=6,系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.【小结】求(xa+yb)n的开放式中系数最大的项问题:当a、b均为正值时,直接由+1+2,+1 解不等式组即可;也可以依据奇数项和偶数项的正负,先对系数最大项的状况加以推断后,再利用不等式求解;当开放式的项数较少时,也可直接将各正项的系数求出后比较求得.思维拓展应用 应用一:令f(x)=a0 x7+a1x6+a7,则有f(1)=a0+a1+a2+a7=27,f(-1)=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-47,则有 2(a1+a3+a5+a7)=f(1)+f(-1)=27-47,所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8128.应用二:由于(x+1-2)5=(2-2x+1)5=15(x-1)10,故Tr+1=15C10 x10-r(-1)r=C10 x5-r(-1)r.若Tr+1为常数项,则 5-r=0,即r=5,所以T6=(-1)5C105x0=-C105=-252.所以开放式中的常数项是-252.应用三:在开放式中项的系数是正负间隔消灭的,系数最大的项只能消灭在奇数项,由题意可知n=8,设第r+1(r为偶数)项的系数最大,则有C8(-2)C8-2(-2)-2,C8(-2)C8+2(-2)+2,解得r=6,即第 7 项的系数最大.基础智能检测 1.B 由通项公式得第r+1 项的系数为(-1)rC9,故r=4,即第 5 项的系数最大.2.B 设(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,令x=1,得 1=a0+a1+a2+a10,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+-a9+a10,两式相减可得a1+a3+a9=1-3102,故选 B.3.240(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,在(x+1)5开放式中,常数项为 1,含x的项为C51=5x,在(2+x)5开放式中,常数项为 25=32,含x的项为C5124x=80 x,开放式中含x的项为 1(80 x)+5x(32)=240 x,此开放式中x的系数为 240.4.解:令x=1,得a0+a1+a2+an=2+22+23+2n=2(2-1)2-1=254,即 2n=128,解得n=7.全新视角拓展 C(1+x)6的开放式中第m+1 项为Tm+1=C6xm,(1+y)4的开放式中第n+1 项为Tn+1=C4yn,所以在(1+x)6(1+y)4的开放式中,记xmyn项的系数为f(m,n)=C6C4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63C40+C62C41+C61C42+C60C43=20+60+36+4=120,选 C.