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课时提升作业(六十)
一、选择题
1.(2021·南昌模拟)若对于任意实数x,有f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数为
( )
(A)f(x)=x4 (B)f(x)=x4-2
(C)f(x)=x4+1 (D)f(x)=x4+2
2.若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为16,则a=( )
(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8
3.(2021·玉林模拟)下列点中,在曲线y=x2上,且曲线y=x2在此点处的切线倾斜角α为的是( )
(A)(0,0) (B)(2,4)
(C)(,) (D)(,)
4.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )
(A)2 (B)- (C)4 (D)-
5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为( )
(A)2 (B)- (C)3 (D)-
6.(2021·安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于( )
(A)-1或- (B)-1或
(C)-或- (D)-或7
7.(2021·梧州模拟)设函数y=f(x)可导,则等于( )
(A)f′(1) (B)3f′(1)
(C)f′(1) (D)以上都不对
二、填空题
8.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=3x2+2xf′(2),则f′(5)
= .
9.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是[0,],则点P的横坐标的取值范围是 .
10.(力气挑战题)曲线f(x)=2x2+b与g(x)=b-x3在x=x0处的切线相互垂直,则x0= .
11.(2021·南宁模拟)过曲线y=x2+1上点P的切线与曲线y=-2x2-1相切,则点P的坐标为 .
三、解答题
12.求下列各函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).
(2)y=+.
(3)y=++3.
13.已知曲线y=x3+,
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
(2)求曲线的斜率为4的切线方程.
14.(力气挑战题)设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两条切线相互垂直.
(1)求a,b之间的关系.
(2)求ab的最大值.
答案解析
1.【解析】选B.求f′(x)结合f(1)=-1验证即知.
2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.
3.【解析】选D.∵k=tanα=tan=1,又y′=2x.
∴k=f′(x0)=2x0=1,x0=.
4.【解析】选C.由于曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以
g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率
为f′(1)=g′(1)+2=4.
5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),
∴导函数f′(x)的图象开口向上.
又∵a≠0,∴其图象必为(3).
由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,
∴a=-1,故f(-1)=-.
6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.
【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),所以切线方程为y-=3(x-x0),
即y=3x-2.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,
解得a=-,
同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
7.【解析】选A.由导数定义知:
=f′(1).
8.【解析】对f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得f′(x)=6x+2f′(2).令x =2,得
f′(2)=-12.再令x=5,得f′(5)=6×5+2f′(2)=6.
答案:6
9.【解析】设点P的横坐标为x0,则y′=2x0+2=tanα,
∵α∈[0,],0≤2x0+2≤1,∴x0∈[-1,-].
答案:[-1,-]
10.【解析】由题意得f′(x)=4x,g′(x)=-2x2.由于在x=x0处切线相互垂直,即4x0·(-2)=-1,求得x0=.
答案:
11.【解析】设P(x0,y0),由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0,切线方程为y=2x0x+1-,而此直线与曲线y=-2x2-1相切.
∴切线y=2x0x+1-与曲线y=-2x2-1只有一个交点,即方程2x2+2x0x+2-=0的判别式Δ=4-2×4×(2-)=0.
解得x0=±,y0=.
∴P点的坐标为(,)或(-,).
答案:(,)或(-,)
12.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=+=,
∴y′=()′=.
(3)∵y=x2+x+1++3=x2+x+x-1+4,
∴y′=2x+1-x-2
=2x-+1.
13.【解析】(1)∵点P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′x=2=4,
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设切点为(x0,y0),
则切线的斜率为k==4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f′(x0)=3+1,
∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,
整理得,=-8,∴x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k==.
又∵k=f′(x0)=3+1,
∴=3+1,
解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,
k=3×(-2)2+1=13,
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,
∴x0=±1,
∴或
∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
14.【解析】(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,
对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,
设C1与C2的一个交点为(x0,y0),
由题意知过交点(x0,y0)的两条切线相互垂直,
∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
即4-2(a+2)x0+2a-1=0. ①
又点(x0,y0)在C1与C2上,
故有
∴2-(a+2)x0+2-b=0. ②
由①-②×2得,2a+2b=5,∴b=-a.
(2)由(1)知:b=-a,
∴ab=a(-a)=-(a-)2+,
∴当a=时,(ab)最大=.
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