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开卷速查(六) 函数的奇偶性与周期性
A级 基础巩固练
1．下列函数：
①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x；
③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝ln.
其中奇函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数；
②f(x)＝x3－x的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x是奇函数；
③由x＋＞x＋|x|≥0
知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，
则f(x)＝ln(x＋)为奇函数；
④由＞0，得－1＜x＜1，即f(x)＝ln的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故选D.
答案：D
2．[2021·“江淮十校”联考]已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a的值为( )
A. B.2
C．4 D.6
解析：∵f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，
∴由3－2a＜x＋1＜a＋1，得2－2a＜x＜a，
∴f(x＋1)的定义域为(2－2a，a)．
又∵f(x＋1)为偶函数，其定义域关于原点对称，
∴2－2a＝－a，a＝2，故选B.
答案：B
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，则f＝( )
A．0 B.1
C．－1 D.2
解析：由f(x)是奇函数可知，f(0)＝0，f＝－f.又y＝f(x)的图像关于x＝对称，所以f(0)＝f，因此f＝0.
答案：A
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于( )
A．2 012 B.2
C．2 013 D.－2
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2 014)＝f(2)，又f(x)为奇函数，
∴f(2)＝－f(－2)＝－2，即f(2 014)＝－2.
答案：D
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B.(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D.(－1,0)∪(0,1)
解析：f(x)的图像如图．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)＞0，得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)＞0，得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)＞0，得x∈(1,3)．
∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
答案：C
6．若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)
解析：由题意，得
解得故g(0)＝－1，f(x)为R上的增函数，0＜f(2)＜f(3)，故g(0)＜f(2)＜f(3)．
答案：D
7．[2021·潍坊市期中]已知函数f(x)＝
若f(a)－f(－a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.(－∞，1]
C．[－1,1] D.[－2,2]
解析：由于f(－x)＝所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，且是减函数，所以不等式变形为2f(a)≤2f(1)，即f(a)≤f(1)，所以a的取值范围是[1，＋∞)，故选A.
答案：A
8．[2022·课标全国Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是__________．
解析：由题可知，当－2＜x＜2时，f(x)＞0.f(x－1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)＞0，则－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
9．已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x1、x2，不等式(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0恒成立，则不等式f(1－x)＜0的解集为__________．
解析：∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，则f(1)＝0.又∵(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，∴f(x)在R上单调递减．
∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x＞1，解得x＜0.
∴不等式f(1－x)＜0的解集为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解析：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，
∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则
f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
B级 力气提升练
11．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：
①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.
其中全部正确命题的序号是__________．
解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，
函数y＝f(x)的图像如图所示：
当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，
f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．
答案：①②④
12．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图像知
∴1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
13．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解析：(1)证明：若x1＋x2＝0，明显不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
∵f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，
∴f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)．
∴f(x1)＋f(x2)＞0.
∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
∴[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)∵f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，∴由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数得即
解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0,1)．
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