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导数与函数单调性交汇
利用导数争辩函数单调性是高考考查的重点，重点以三次函数、指数函数、对数函数为载体，近几年常考查以下几种题型。下面举例说明。
一、 直接利用导数求单调区间
例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
解：．
令，得．
当，即时，的变化状况如下表：
0
当，即时，的变化状况如下表：
0
所以，当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递减．
二、 给出函数在某个区间上的单调性，求参数范围
例2、设a>0，函数在上是单调递增函数，求a的取值范围。
分析1：函数在上是单调递增函数，所以为函数的递增区间的子集，因此先求出函数的单调增区间。
解法1：，令，
得，或，故函数的单调递增区间为和
由于函数在上是单调递增函数，所以，得
所以a的取值范围是
分析2：由于函数在上是单调递增函数，所以当时，恒成立。
解法2：，由于函数在上是单调递增函数，所以当时，恒成立，即恒成立，这是要，
又当时，，所以，由于a>0，所以a的取值范围是
点评：“函数f（x）的单调递增（或递减）区间为A”与“函数f（x）在区间B内单调递增（或递减）”这两种说法是有区分的，它们的关系是，不要误认为是A＝B.
例3、若函数，在区间（1，4）内是减函数，在区间上为增函数，求实数a的取值范围。
解：，由于函数在区间（1，4）内是减函数，在区间上为增函数，所以当时，恒成立；当时，恒成立。由于为二次函数，（大致图象如图所示）
所以，即，解得
所以a的取值范围是[5，7].
三、 综合应用
例4、已知函数（b，c为常数），
（1）若f（x）在x＝1和x＝3处取得极值，试求b，c的值；
（2）若f（x）在，上单调递增且在上单调递减，又满足，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，试比较与的大小，并加以证明。
（1）解：由题意可得，由于f（x）在x＝1和x＝3处取得极值，所以的两根为1，3，从而有，所以
（2）证明：若f（x）在，上单调递增且在上单调递减，说明是方程＝0的两根，则有，，由，
可得，即有.
（3）解：由（2）的条件，有，
从而有＋x，
所以，
又，所以，
从而，故>.
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