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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. [2022·北京高考]设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：可接受特殊值法进行推断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”．故选D.
答案：D
2. [2021·江南十校联考]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.
答案：B
3. 有下列命题：①“若x2＋y2＝0，则x，y全是0”的否命题；②“全等三角形是相像三角形”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①④
解析：①否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y不全是0”，为真．
②否命题为“不全等的三角形不相像”，为假．
③逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.∴其逆命题是假命题．
④原命题为真，逆否命题也为真．
答案：D
4. “x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不愿定成立．
答案：B
5. 已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：ab＝0a＝0，但a＝0⇒ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.
答案：B
6. [2021·广东六校联考] “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. m> B. 0<m<1
C. m>0 D. m>1
解析：不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝1－4m<0，∴m>.∴“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.
答案：C
7. [2022·陕西高考]原命题为“若<an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的推断依次如下，正确的是( )
A. 真，真，真 B. 假，假，真
C. 真，真，假 D. 假，假，假
解析：<an，即an＋an＋1<2an，则an＋1<an，∴{an}为递减数列，故原命题为真，则其逆否命题也为真；若{an}是递减数列，则an＋1<an，∴an＋an＋1<2an，∴<an，故其逆命题也是真命题，则其否命题也是真命题．故选A.
答案：A
8.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为______．
解析：由x2>1，得x<－1，或x>1.
又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，
知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，
所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
9．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
10. 推断下列各题中命题p是q的什么条件．
(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；
(2)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(3)p：四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解：(1) 当|a|≥2时，如a＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有a≤－2或a≥6，可推出|a|≥2，故p是q的必要不充分条件．
(2)a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，故p是q的必要不充分条件．
(3)四边形的对角线相等D⇒/四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，故p是q的充分不必要条件．
11. 已知命题p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，
q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)⇔1－a≤x≤1＋a.
∵p⇒q，qp，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}，
故有解得a>9.
又当a＝9时，也满足条件．因此，所求实数a的取值范围为[9，＋∞)．
12. 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
由于x∈，所以≤y≤2，
所以A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
所以B＝{x|x≥1－m2}．
由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，
所以1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
[B级 知能提升]
1. [2021·西安模拟]下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A. a>b＋1 B. a>b－1
C. a2>b2 D. a3>b3
解析：由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，选A.
答案：A
2. 下列命题中为真命题的是( )
A. 命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B. 命题“x>1，则x2>1”的否命题
C. 命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D. 命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y, 是真命题，这是由于x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不愿定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．
答案：A
3. [2021·沈阳质检]若“m≤a”是“方程x2＋x＋m＝0有实数根”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：∵一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根的充要条件是Δ＝1－4m≥0，即m≤，而“m≤a”是必要不充分条件，所以a>.
答案：
4. 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
解：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，结合集合M，P可得－3≤a≤5.故－3≤a≤5是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．
证明：当－3≤a≤5时，集合P＝{x|a≤x≤8}，集合M＝{x|x<－3或x>5}，故M∩P＝{x|5<x≤8}，
综上可知，－3≤a≤5是M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．
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