资源描述
阶段性测试题五(平面对量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·江西乐安一中月考)已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于( )
A．－4 B．4
C．0 D．9
[答案] D
[解析] ∵a－b＝(1－x,4)，a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝(1,2)·(1－x,4)＝9－x＝0，∴x＝9.
2．(2021·皖南八校联考)已知点A(2，－)，B(，)，则与向量方向相同的单位向量是( )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(－，)
[答案] C
[解析] ＝(－，2)，||＝＝，
∴＝(－，)．
3．(文)(2022·甘肃省金昌市二中期中)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] C
[解析] ∵c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，即1×2×cos〈a，b〉＝－1，
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.
(理)(2021·沈阳市一模)若向量a、b满足a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，则向量a与b的夹角等于( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
[答案] D
[解析] 由a＋b＝(2，－1)，a＝(1,2)，得
b＝(1，－3)，从而cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝135°.
4．(2021·呼和浩特市期中)已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b上的投影是( )
A．－ B．
C. D．－3
[答案] A
[解析] 由已知，向量|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋4＋2＝7，|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋4－2＝3，(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝－3，则cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝－，
向量a－b在向量a＋b上的投影是|a－b|cos〈a－b，a＋b〉＝×(－)＝－，故选A.
5．(2021·石光中学阶段测试)已知m>0，n>0，向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，且a∥b，则＋的最小值是( )
A．2 B．＋1
C．2－1 D．3＋2
[答案] D
[解析] ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，∴m＋n＝1，
∵m>0，n>0，∴＋＝(＋)·(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.
等号成立时，即
6．(2021·浙江慈溪市、余姚市期中联考)在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＋＝( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] ＝(＋)，＝(＋)，∴＋＝(＋＋＋)＝(＋)＝.
7．(2021·湖南师大附中月考)若等边△ABC边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝( )
A．－1 B．
C．－2 D．2
[答案] C
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，依据题设条件可知：A(0,3)，B(－，0)，C(，0)，
设M(a，b)，＝＋＝(－2，0)＋(0,3)＝(－，2)，
又＝－＝(a，b)－(，0)＝(a－，b)，
∴∴a＝0，b＝2，
∴M(0,2)，所以＝(0,1)，＝(－，－2)，
因此·＝－2.故选C.
8．(2021·宁夏银川二中统练)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
9．(2022·营口三中期中)已知a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60°，|b|＝|a|，则cos〈a，b〉等于( )
A. B．
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 设〈a，b〉＝α，∵|b|＝|a|，
∴|b|2＝3|a|2，a·b＝|a|2cosα，
a·c＝|a|·|c|·cos60°＝|a|·|a＋b|.
∵a·c＝－(a＋b)·a＝－|a|2－a·b
＝－|a|2－|a|2cosα，
|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b
＝|a|2＋3|a|2＋2|a|2cosα＝4|a|2＋2|a|2cosα，
∴－|a|2－|a|2cosα＝|a|·，
∴－cosα－1＝，∴cosα＝－，故选D.
10．(2021·成都市树德中学期中)已知a＝(，)，b＝(，－)，曲线a·b＝1上一点M到F(7,0)的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|＝( )
A. B．
C. D．或
[答案] B
[解析] 由a·b＝1得，－＝1，易知F(7,0)为其焦点，设另一焦点为F1，由双曲线的定义，||MF1|－|MF||＝10，∴|MF1|＝1或21，明显|MF1|＝1不合题意，
∴|MF1|＝21，ON为△MF1F2的中位线，∴|ON|＝.
11．(文)(2022·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC中，D是BC的中点，AD＝3，点P在AD上且满足＝3，则·(＋)＝( )
A．6 B．－6
C．－12 D．12
[答案] C
[解析] ∵AD＝3，＝3，∴||＝3，||＝1，
∴||＝2，
∵D为BC的中点，∴·(＋)＝·2＝－2·||·||＝－12.
(理)(2022·浙江省五校联考)已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足＝λ＋(1－λ)(0<λ<1)，则·的取值范围是( )
A．[－，1) B．[－1,1)
C．[－，0) D．[－1,0)
[答案] C
[解析] 以直线MN为x轴，单位圆的圆心O为原点建立直角坐标系，则M(－1,0)，N(1,0)，∴·＝－1，
∵＝λ＋(1－λ)，(0<λ<1)，
∴＝λ(0<λ<1)，∴C在线段AB上(不包括端点)，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝120°，∴||∈[，1)，
∴·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＋·＝||2－1∈[－，0)．
12．(文)(2021·遵义航天中学二模)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为( )
A. B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 在△ABC中，已知D是AB边上一点∵＝2，＝＋λ，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，故选A.
(理)(2022·湖南长沙试验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量，，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30°，且||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 以OA、OB为邻边作▱OADB，∵OA＝1，OB＝1，∠AOB＝60°，∴OD＝，∵与、的夹角都为30°，∴与共线，∴＝2＝2＋2，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2021·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a·(b＋c)＝________.
[答案] 3
[解析] 如图建立平面直角坐标系，
则a＝(1,3)，b＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b＋c＝(0,1)，
∴a·(b＋c)＝(1,3)·(0,1)＝3.
14．(文)(2022·江西临川十中期中)若非零向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝________.
[答案] 0
[解析] ∵a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，
又a⊥c，∴a·c＝0，
∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(1＋2λ)a·c＝0.
(理)(2021·山西忻州四校联考)已知m，n是夹角为120°的单位向量，向量a＝tm＋(1－t)n，若n⊥a，则实数t＝________.
[答案]
[解析] ∵m，n是夹角为120°的单位向量，向量a＝tm＋(1－t)n，n⊥a，∴n·a＝n·[tm＋(1－t)n]＝tm·n＋(1－t)n2＝tcos120°＋1－t＝1－t＝0，∴t＝.
15．(文)(2022·湖南省五市十校联考)点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使z＝y－2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则·(O为坐标原点)的取值范围是________．
[答案] [0,6]
[解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD区域，作直线l0：y－2x＝0，平移l0，当平移到经过点B(，1)时，z取最小值，∴A为B点，即A(，1)，
∵M在平面区域Ω内运动，||为定值，
·＝||·(||·cos〈，〉)，
∴当M与O(或C)重合时，||cos〈，〉取到最小值(或最大值)，且M与O重合时，·＝0，M与C重合时，·＝(，3)·(，1)＝6，
∴0≤·≤6.
(理)(2022·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P(x，y)为平面上以A(4,0)，B(0,4)，C(1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O为原点，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________．
[答案] [，1]
[解析] 直线AB：x＋y＝4，直线AC：2x＋3y－8＝0，直线BC：2x＋y－4＝0，
∴点P所在的平面区域为
即△ABC的内部和边界，
∵＝λ＋μ＝(4λ，4μ)，
∴∴λ＋μ＝(x＋y)．
作直线l0：x＋y＝0，平移l0，可知当平移到经过点C(1,2)时，x＋y取最小值3，与直线AB重合时，x＋y取最大值4，从而3≤x＋y≤4，∴≤λ＋μ≤1.
16．(文)(2021·合肥市两校联考)若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1,2)下的坐标为________．
[答案] (0,2)
[解析] a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)，
设a＝xm＋yn＝(y－x，x＋2y)，则
∴
(理)(2021·娄底市名校联考)如图，Ox、Oy是平面内相交成120°的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则将有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若＝(3,2)，则||＝________.
[答案]
[解析] 由题意可得e1·e2＝cos120°＝－.
||＝＝
＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2022·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a＋b与a－b的夹角的余弦值
[解析] (1)由条件知(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝，|a|＝1，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，
∴|a－b|＝，
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，
∴|a＋b|＝，
设a－b，a＋b的夹角为α，
则cosα＝＝＝.
18．(本小题满分12分)(2021·皖南八校联考)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量与表示向量；
(2)求向量的模．
[解析] (1)＝＋＋，＝＋＋，两式相加，并留意到点M、N分别是线段A1B1、A2B2的中点，得＝(＋)．
(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，
所以·＝1，由＝(＋)得，
||＝
＝＝.
19．(本小题满分12分)(2022·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，
∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)，
－λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)，
若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0，
即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，
若t≠，则λ＝，
∵t∈[1，)∪(，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[，＋∞)．
20．(本小题满分12分)(2022·安徽程集中学期中)已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，且m与n的夹角为.
(1)求角C的值；
(2)已知c＝3，△ABC的面积S＝，求a＋b的值．
[解析] (1)∵|m|＝|n|＝1，
∴m·n＝|m|·|n|·cos＝，
又m·n＝coscos＋sin(－sin)＝cosC，
∴cosC＝，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝9，①
由S△ABC＝absinC＝，得ab＝，②
由①②得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9＋3ab＝25，
∵a，b∈R＋，∴a＋b＝5.
21．(本小题满分12分)(2021·湖北襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学联考)已知函数f(x)＝a·b＋，其中a＝(sinx－cosx，－1)，b＝(cosx,1)．
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若sin(A＋C)＝2sinA，求a、b的值．
[解析] (1)f(x)＝a·b＋＝sinxcosx－cos2x－1＋＝sin2x－(1＋cos2x)－＝sin(2x－)－1，
f(x)的最大值为0；最小正周期为π.
(2)f(C)＝sin(2C－)－1＝0，又－<2C－<，
∴2C－＝，解得C＝，
又∵sin(A＋C)＝sinB＝2sinA，由正弦定理＝，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝9，
由①②解得：a＝，b＝2.
22．(本小题满分14分)(文)(2021·东北育才学校一模)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋时，解得kπ－≤x≤kπ＋，
∴f(x)＝sin(2x－)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，(2x－)∈[－，]，
∴sin(2x－)∈[－，1]，
所以，f(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为1，－.
(理)(2022·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx，－)，函数f(x)＝m2＋m·n－2.
(1)求f(x)的最大值，并求取得最大值时x的取值集合；
(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)＝1，求＋的值．
[解析] (1)f(x)＝m2＋m·n－2＝(m＋n)·m－2
＝(sinx＋cosx，－)·(sinx，－1)－2
＝sin2x＋sinxcosx－＝＋sin2x－
＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
故f(x)max＝1，此时2x－＝2kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
所以取得最大值时x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)∵f(B)＝1，∴sin(2B－)＝1，
又∵0＜B＜，∴－<2B－<π.
∴2B－＝，∴B＝.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴sin2B＝sinAsinC.
∴＋＝＋＝
＝＝＝＝.
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